Переходные процессы при ступенчатом возмущении

При расчете переходных процессов элементов и систем автоматического регулирования удобно пользоваться известным принципом суперпозиции. Смысл его заключается в том, что переходный процесс φ = f(t), возникающий при сложном возмущении, типа «κ - θ_дα_д» (одновременного воздействия на двигатель смещения рейки насоса и изменения внешней нагрузки) может быть получен в виде алгебраической суммы двух переходных процессов, появляющихся вследствие раздельного воздействия на двигатель управляющего сигнала «κ» и возмущения «- θ_дα_д». Поэтому вместо решения дифференциального уравнения (1.24) можно получать решения двух, но более простых уравнений:

(2.1)

а полученные из них зависимости φ_κ = f(t), и φ_α = f(t), затем просуммировать:

φ(t) =φ_κ(t) + φ_α(t) (2.2)

Таким образом, принцип суперпозиции, применимый только для линейных дифференциальных уравнений, дает возможность при оценке динамических свойств двигателя выбрать одно из возможных возмущений. Пусть таким возмущением будет ступенчатое перемещение рейки топливного насоса κ_в = const при неизменной нагрузке (α_д = 0). При задании начальных условий переходного процесса всегда следует четко различать состояние элемента. При t = - 0 равновесный режим соответствует режиму до возмущения, при t = + 0 - равновесному режиму после возмущения.

При ступенчатом возмущении κ = κ_в = const первое из уравнений (2.1) получит вид:

(2.3)

при начальных условиях: t = 0, φ (0) = 0.

Рис. 2.1 Переходные процессы при типовых возмущениях: а) единичное ступенчатое возмущение; б) его переходная функция; в) гармоническое возмущение; д) его переходная функция.

При построении переходного процесса φ = f(t) необходимопредварительно выбрать способ отсчета координат κ и φ или h и ω. Переходный процесс является переходом двигателя от установившегося режима до возмущения при ω₁₀, h₁₀ к установившемуся режиму после возмущения при ω₂₀, и h₂₀

Если за начало отсчета выбрать установившийся режим при ω₁₀ и h₁₀, (т.е. до возмущения) то при t = - 0 получим:

κ_в = ∆h/h₁₀ = (h₁₀ - h₁₀)/h₁₀ = 0, (2.4)

а при t = +0 (сразу после возмущения путем ступенчатой перестановки рейки из положения h ₁₀ в положение h₂₀;рис. Р9, a):

κ_в = ∆ h/h₁₀ = (h₂₀ - h₁₀)/h₁₀ > 0. (2.5)

В результате ступенчатого возмущения возникает переходный процесс по относительной угловой скорости φ (рис. 2.1, a), описываемый уравнением (2.3).

Характер переходного процесса полностью определяется левой частью дифференциального уравнения (2.3). Это уравнение неоднородное, поэтому общий интеграл его отыскивается в виде суммы общего интеграла φ_од однородного уравнения

(2.6)

и частного интеграла φ_н уравнения (2.3), т. е.:

φ(t) =φ_од(t) + φ_н(t) (2.7)

Общий интеграл однородного дифференциального уравнения можно найти в форме

(2.8)

где С – постоянная, определяемая начальными условиями; р – корень характеристического уравнения определяемый как p = - k_д/Т_д. Следовательно,

(2.9)

Частный интеграл неоднородного уравнения (2.3) отыскивается в форме его правой части, т. е. в форме постоянной величины φ_н = const. Подстановка φ_н в уравнение (2.3) дает:

φ_н = κ_в / k_д, поэтому:

(2.10)

Так как при t = 0 имеем φ = 0,то получим С = - κ_в / k_д, откуда:

(2.11)

В результате дифференцирования выражения (2.11) по времени получим:

(2.12)

откуда при t = 0 получим:

(2.13)

Следовательно, чем выше инерционность двигателя (больше Т_д), тем медленнее изменяется его угловая скорость при заданном возмущении κ_в. Переходный процесс протекает так, что если t = 0, то φ = 0, а при t → + ∞ значение φ → κ_в / k_д

Чем больше положительное значение коэффициента самовыравнивания k_д, тем меньше (при заданном κ_в) новое после возмущения равновесное значение исследуемой координаты φ отличается от ее значения в равновесном режиме до возмущения (рис. 2.2,а). При k_д = 0 производная (2.12) становится постоянной, и переходный процесс соответствует прямой 3.

а) б)

Рис.2.2. Переходные процессы двигателя внутреннего сгорания:

а) без наддува при Т_д = const (1 – k_д = 0,6; 2 - k_д = 0,3; 3 - k_д = 0; 4 - k_д < 0;

б) 1 - без наддува (для сравнения); - при наддуве (2 - апериодический); (3 - (колебательный)

При k_д < 0 производная (2.12) положительна, поэтому переходный процесс соответствует кривой 4. Следовательно, при k_д < 0 двигатель в случае возмущающего воздействия идет в разнос или глохнет, т. е. является неустойчивым.

Дифференциальное уравнение, описывающее динамические свойства двигателя с газотурбинным наддувом является более сложным, и здесь без вывода приведем его окончательный вид:

(2.14)

где - некоторые громоздкие константы; - возмущающие воздействия

Это уравнение как и уравнение (1.24) является линейным но с двумя начальными условиями:

Окончательное решение имеет вид

(2.15)

где p₁, p₂ – корни характеристического уравнения полученного из (2.14).

Если эти корни - вещественны, то переходный процесс (Рис.2.2, б) является апериодическим, а если они - комплексные, то переходный процесс становится колебательным.