Уравнение частоты вращения коленчатого вала для неустановившегося режима

В современных автомобилях широко используются двигатели как с наддувом, так и без наддува. В теории автоматического регулирования более просто описываются переходные процессы для двигателя без наддува. Поэтому ниже приведена детализация дифференциального уравнения (1.8) для такого двигателя.

Сначала представим текущие значения ω, М М_с через сумму значений: ω_о, М_о М_со (значения в выбранном равновесном режиме – постоянные величины)и отклонений: ∆ω, ∆M, ∆М_с (переменные величины):

ω = ω_о + ∆ω, М = М_о + ∆M М_с = М_со + ∆М_с (1.10)

. Подстановка текущих значений параметров в уравнение (1.8) с учетом уравнения (1.2) приводит его к виду

J d(Δω)/dt = ΔМ – ΔМ_с (1.11)

Так как цикловая подача топлива определяется положением h органа управления (рейки, дроссельной заслонки) и угловой скоростью ω коленчатого вала, то:

(1.13)

Разложение данной функциональной зависимости в ряд Тейлора и последующая линеаризация позволяют получить зависимость

(1.14)

Момент М_с потребителя (рис. 1.6)зависит от угловой скорости ω и настройки N потребителя (например, выбор угла атаки винта, передачи, угла наклона дороги и т. п.), т. е.

(1.15)

Аналогичная линеаризация этой формулы приводит к зависимости:

(1.16)

Подставив (1.14) и (1.16) в (1.11) получим:

(1.17)

далее, учитывая (1.5) имеем:

(1.18)

Разделим (1.18) на комплекс q_h = , называемый коэффициентом эффективности воздействия на двигатель. Тогда соотношение (1.18) можно записать в виде

(1.19)

С целью последующего упрощения уравнения произведем замены:

, (1.20)

где:

- относительное изменение угловой скорости (зависимая величина, которую необходимо определить);

κ - задаваемое относительное изменение положения рейки топливного насоса;

α_∂ - задаваемое относительное изменение нагрузки потребителя,

а также введем следующие обозначения:

– время собственно двигателя (сек.)

(1.21)

– безразмерный коэффициент самовыравнивания:

(1..22).

безразмерный коэффициент усиления по настройке потребителя (по нагрузке)

(1.23)

Тогда после всех подстановок перепишем (1.19) в виде:

(1.24)

В теории автоматического регулирования широко используется операторная запись дифференциальных уравнений. В этом случае операция дифференцирования по времени d/dt обозначается символом (оператором) p, и уравнение (1.24) в операторной записи имеет вид

(1.25)

где - есть собственный оператор, который обозначается как:

(1.26)

В результате уравнение (1.26) примет вид:

(1.27)

Операторная запись дифференциального уравнения дает возможность получить передаточные функции некоторого элемента, характеризующие воздействие на него той или иной входной координаты. Для этого все члены уравнения следует поделить на собственный оператор . В этом случае уравнение (1.27) запишется в виде

(1.28)

где - передаточная функция по ходу рейки, определяемая по выражению:

(1.29)

- передаточная функция по нагрузке, определяемая по выражению:

(1.30)

Таким образом, число передаточных функций элемента (двигателя) соответствует числу его входных координат .

Запись дифференциального уравнения (1.25) через передаточные функции дает возможность построить структурную схему элемента, отражающую его динамические свойства. Каждая передаточная функция в структурной схеме изображается прямоугольником, а входные и выходные координаты - стрелками. В соответствии с уравнением (1.30) все выходные координаты суммируются, поэтому структурная схема собственно двигателя будет иметь вид, показанный на рис. 1.8.