Граничные условия для электрического и магнитного полей

Граничные условия для электрического и магнитного полей определяют поведение нормальных и тангенциальных составляющих напряженностей и индукций электрического и магнитного полей на границе раздела двух сред с различными характеристиками. В простейшем случае эти среды будем считать изотропными, т.е. диэлектрические и магнитные проницаемости будут определены как скалярные величины

; .

Для определения поведения нормальных к поверхности составляющих путем интегрирования уравнений Максвелла III и IV выберем замкнутую поверхность в виде бесконечно малого цилиндра высотой h и с площадью основания D S, предполагая в дальнейшем устремление каждого из этих параметров к нулю (рис. 4).

Рисунок 4 – замкнутая поверхность в виде бесконечно малого цилиндра

Интегрируя уравнение Максвелла III

по объему и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим

.

Вычисляя потоки через «дно», «крышку» и «боковую поверхность», получим

Устремим высоту цилиндра к нулю:

B _{1 n} = B _{2 n} (1.13)

– первое граничное уравнение.

Используя , имеем:

. (1.14)

Интегрируя уравнение IV Максвелла

по объему и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим . В итоге, как и в предыдущем случае, получаем

D _{2 n} D S – D _{1 n} D S = 4psD S Þ D _{2 n} – D _{1 n} = 4ps. (1.15)

– скачок на заряженной поверхности, вследствие наличия поверхностной плотности электрических зарядов . С учетом , имеем:

e₂ E _{2 n} – e₁ E _{1 n} = 4ps (1.16)

Если поверхностных зарядов нет, то нормальные составляющие индукции электрического поля непрерывны, а – напряженности изменяются по закону

(1.17)

Для определения поведения тангенциальных составляющих поле выберем замкнутый контур, представленный на рис. 4.

Рисунок 5 – бесконечно малый контур

Интегрируя уравнение II Максвелла

по поверхности, натянутой на контур, и применяя к левой части теорему Стокса, получим

.

Вычисляя по отдельности циркуляции вдоль каждой из сторон контура и устремляя h ®0, получим при

. (1.17)

Интегрируя уравнение I Максвелла

по поверхности, натянутой на контур, и применяя к левой части теорему Стокса, получим

, (1.18)

где i – линейная плотность поверхностных токов.

Если отсутствуют поверхностные токи i = 0, то