Уравнения Максвелла, материальные уравнения, граничные условия для электрического и магнитного полей

Общепрофессиональная дисциплина: Электродинамика. Электродинамик сплошных сред.

Уравнения Максвелла, материальные уравнения, граничные условия для электрического и магнитного полей.

Уравнения Максвелла являются обобщением эмпирических законов для электрического и магнитного полей и гипотезы Максвелла о токах смещения (рис. 1)

№	В Гауссовой системе единиц:	В СИ:
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII

Таблица 1 – Уравнения Максвелла в Гауссовой и международной системах единиц

Обозначения в таблице: c = const = 3×10⁸ м/с – электродинамическая постоянная в Гауссовой системе единиц (скорость света в вакууме)

В математическом смысле здесь 5 полей: и . Все они функции и t. . Здесь r – объемная плотность неподвижных зарядов, j – плотность тока проводимости, (– удельная электропроводность, w – объемная плотность энергии электромагнитного поля.

I уравнение Максвелла является следствием эмпирического закона Био-Савара-Лапласа, утверждающего, что вокруг проводника с током возникает магнитное поле, и вытекающей из него теоремы о циркуляции, к которой можно прийти, интегрируя уравнение I и применяя теорему Стокса

, где

поток вектора индукции электрического поля через поверхность S.

, (1.1)

где H – магнитодвижущая сила. Физический смысл: вихревое магнитное поле возникает, при наличии токов проводимости или токов смещения. Последнее слагаемое в уравнении (1.1) является следствием дополнительного предположения Максвелла о том, что магнитное поле возникает не только вокруг тока проводимости (движущихся зарядов), но и вокруг силовых линий меняющегося со временем электрического поля – токов смещения (рис. 1), плотность которых определяется соотношением

(1.2)

Рисунок 2 – гипотеза Максвелла о токах смещения

II уравнение Максвелла является следствием закона электромагнитной индукции, к которому можно прийти, интегрируя уравнение II и применяя теорему Стокса

(1.3)

получаем

– ЭДС индукции (закон Фарадея). Физический смысл: вихревое электрическое поле возникает, при наличии меняющегося во времени магнитного поля.

III уравнение Максвелла является следствием безуспешности попыток, обнаружить экспериментально магнитные заряды (монополи). Интегрируя третье уравнение Максвелла по объему и применяем теорему Остроградского-Гаусса

, (1.4)

приходим к констатации замкнутости силовых линий магнитного поля.

Рисунок 3 – Магнитное поле бывает только вихревым

IV уравнение Максвелла является следствием эмпирического закона закон Кулона, точнее, вытекающей из него электростатической теоремы Гаусса, к которой приходим, интегрируя четвертое уравнение Максвелла по объему и применяем теорему Остроградского-Гаусса

, (1.5)

Уравнения V-VII – материальные уравнения – уравнения состояния вещества, характеризуемого диэлектрической проницаемостью e, магнитной проницаемостью m, и удельной проводимостью (

(1.6)

– напряженность поля сторонних сил – сил не электростатического происхождения.

– закон Ома в дифференциальной форме.

Уравнение VIII определяет плотность энергии электромагнитного поля

.