Теорема Пойнтинга (закон сохранения энергии), уравнение непрерывности (закон сохранения заряда)

Умножим первое уравнение Максвелла скалярно на вектор , а второе так же на вектор и из 2-го вычтем первое:

,

учитывая, что

; ;

имеем:

.

Величина

представляет собой удельную мощность Джоулевых потерь. Введем вектор Умова-Пойнтинга, который в дальнейшем можно интерпретировать как вектор плотности потока энергии

, тогда

,

где q – теплота, выделяемая в единице объема,

– плотность энергии электромагнитного поля.

Интегрируя по объему V и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим закон сохранения энергии

(2.1)

– убыль энергии электромагнитного поля в объеме V обусловлена тепловыми потерями и излучением электромагнитных волн.

Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда)

Вычисли дивергенцию от обеих частей первого уравнения Максвелла

.

Получим

.

Так как , а из четвертого уравнения Максвелла , то получаем закон сохранения заряда в дифференциальной форме

. (2.2)

Интегрируя по объему и применяя к левой части теорему Остроградского-Гаусса, получим закон сохранения заряда в интегральной форме

(2.3)

– убыль заряда в некотором объеме V сопровождается движением электрических зарядов через поверхность, ограничивающую объем.