Токи в лампах СВЧ. Теорема Шокли-Рамо. Метод полного тока

Полный ток является суммой конвекционного тока и тока смещения. На низких частотах током смещения обычно можно пренебречь, т.к. он мал по сравнению с конвекционной составляющей. В этом случае с мгновенным током, протекающим во внешней цепи какого-либо электрода, отожествляется конвекционный ток. Если электроды не попадают на электрод, ток во внешней цепи этого электрода должен быть равен нулю. Такой вывод справедлив при работе электронных приборов в области низких частот, когда угол пролета близок к нулю. Однако он ошибочен в области высоких частот при больших углах пролета.

Рассмотрим рис. 1. Во внешнюю цепь диода включен источник напряжения, внутренне сопротивление которого равно нулю. Краевыми эффектами пренебрегаем.

Ток во внешней цепи лампы связан с процессом движения электронов и наведением на электродах переменных зарядов. Возникновение тока не зависит от оседания электронов на какой-либо электрод.

Определим величину тока, протекающего во внешней цепи. Напряжение источника U в общем случае является величиной переменной. Источник создает на электродах диода при отсутствии между ними свободных зарядов, как и во всяком плоском конденсаторе, поверхностные заряды +Q и –Q:

, (1)

где E=U/d – напряженность эл. поля в отсутствие свободных зарядов; d – расстояние между электродами; S – поверхность каждого электрода.

Поскольку движущийся плоский слой заряда – q, в свою очередь, наводит заряды + q₁ и +q₂, то суммарные поверхностные заряды на катоде Q₁ и аноде Q₂ составят:

Q₁=-Q+q₁; Q₂=Q+q₂.

Тогда напряженности поля слева и справа от заряженного слоя имеют вид:

; . (2)

Т.к. в каждый момент времени напряжение на зазоре U имеет вполне определенное значение, можно записать:

, (3)

где z – текущая координата заряженного слоя.

Подставляя выражения (1) и (2) в (3), получаем:

или . (4)

определив q₁ и q₂ из уравнения сохранения зарядов (q₁+q₂=q) и подставив в ур-ние (4), имеем:

. (5)

из последнего видно, что с увеличением z от нуля до d заряд на аноде линейно возрастает от нуля до q, а заряд на катоде линейно убывает от q до нуля. Полные мгновенные заряды на каждом из электродов составляют:

Q₁= - Q + q(1 – z/d); (6)

Q₂= + Q + q(z/d). (7)

Таким образом, полный ток, протекающий в зазоре, а также во внешней цепи:

, (8)

где v=dz/dt – скорость движения плоского слоя электронов.

Из (8) следует, что полный ток во внешней цепи любого электрического прибора состоит из обычного емкостного тока, протекающего через диод при отсутствии в нем свободных зарядов

, (9)

где - емкость между электродами, и тока, наведенного движущимся зарядом

. (10)

Уравнение (10) получено в предположении, что заряд имеет форму тонкого плоского слоя, но оно остается верным и для точечного заряда. Это уравнение является частным случаем общей теоремы наведенных токов, известной под названием теоремы Шокли-Рамо.

Если в пространстве между электродами существует распределение зарядов вдоль оси z с некоторой объемной плотностью , то наведенный ток, обусловленный движением всех зарядов,

. (11)

так как , то

. (12)

Выражение (12) позволяет вычислить наведенный ток во внешней цепи любого электрода, если известен закон распределения конвекционного тока I_K(z,t) внутри лампы во времени и пространстве.

Полный ток имеет неизменную величину в любом участке последовательной цепи, в том числе и в любом сечении межэлектродного пространства. На тех участках, где нет движущихся зарядов, полный ток представлен током смещения, численно равным наведенному току.