Описание работы лазера с помощью кинетических уравнения (трех- и четырехуровневый лазеры)

Прежде всего рассмотрим лазер, работающий по четырехуровневой схеме и имеющий для простоты лишь одну полосу поглощения накачки (полоса 3 на рис. 1). Впрочем, последующий анализ останется неизменным, даже если иметь дело более чем с одной полосой, при условии, что релаксация из этих полос на верхний лазерный уровень 2 происходит очень быстро. Обозначим населенность четырех уровней 0, 1, 2 и 3 соответственно через Nq, N1, N2, N3. Будем считать, что лазер генерирует только на одной моде резонатора. Пусть q – полное число фотонов в резонаторе. Считая, что переходы между уровнями 3 и 2 и уровнями 1 и 0 являются быстрыми, можно положить . Таким образом, мы имеем следующие скоростные уравнения:

, (1а)

, (1б)

. (1в)

В уравнении (1а) величина Nt представляет собой полное число активных атомов (или молекул). В уравнении (1б) слагаемое WpNg учитывает накачку. В том же уравнении член BqN2 соответствует вынужденному излучению. Скорость вынужденного излучения W пропорциональна квадрату электрического поля электромагнитной волны и, следовательно, пропорциональна q. Поэтому коэффициент В можно рассматривать как скорость вынужденного излучения на один фотон в моде. Величина представляет собой время жизни верхнего лазерного уровня. В уравнении (1в) член VaBqN2 соответствует скорости изменения числа фотонов вследствие вынужденного излучения, где Va – объем, занимаемый модой внутри активной среды. Наконец, член (где - время жизни фотона) учитывает уменьшение числа фотонов из-за потерь в резонаторе.

Объем моды определяется:

(2)

где E(x,y,z) – распределение электрического поля внутри резонатора, Е0 – максимальное значение этого поля, а интегрирование производится по объему, занимаемому активной средой. Для моды ТЕМ00 имеем

(3)

здесь мы положим . Из выражения (2) и (3) имеем:

(4)

где l – длина активной среды. Появление четверки в знаменателе выражения (4) является результатом слудеющих двух обстоятельств: 1) наличие множителя ½ обусловлено тем, что мода имеет характер стоячей волны, так что ; 2) еще один множитель ½ появляется из-за того, что - это размер пятна для амплитуды поля Е, в то время как размер пятна для интенсивности поля (т.е. для Е2) в раз меньше.

В случае, когда учитывается спонтанное излучение, уравнение (1в) преобразуется к виду

(1г)

Уравнения принято записывать не через населенность верхнего уровня N2, а через инверсию населенности

(5)

В силу нашего предположения о том, что релаксация с уровня 1 является быстрой, имеем , и уравнения (1) нетрудно свести лишь к двум уравнениям в переменных N(t) и q(t):

, (6а)

. (6б)

Для количественного описания работы лазера необходимо решить эти уравнения с учетом соответствующих начальных условий.

Если мы имеем дело с моногомодовой генерацией, то описание можно сделать еще более простым за счет того, что мы рассматриваем полное число фотонов q, просуммированное по всем модам. В этом случае записанные выше уравнения все еще применимы в приближенной форме, причем

(7)

где А – площадь поперечного сечения той части активной среды, которую занимают поля генерируемых мод.

В соответствии с выражениями (4) и (7) в любом случае можно записать, что

(8)

где Ае – эффективная площадь поперечного сечения лазерной среды, которая равна либо , либо А, в зависимости от того, генерирует ли лазер на одной или на многих модах.

Исследование трехуровневого лазера проводится так же, как четырехуровневого. Обращаясь к рисунку 2, предположим снова, что имеется лишь одна полоса поглощения накачки, и если переход достаточно быстрый, то можно опять положить . При этом скоростные уравнения можно записать почти так же, как и в случае четырехуровневого лазера, а именно:

, (9а)

, (9б)

(9в)

Эти уравнения нетрудно свести лишь к двум уравнениям в переменных N(t) и q(t):

, (10а)

. (10б)

Эти уравнения совместно с явными выражениями для B и описывают как установившееся, так и динамическое поведение трехуровневого лазера. Скоростные уравнения для фотонов в случае четырехуровневых (6б) и трехуровневых (10б) лазеров одинаковы. Однако скоростные уравнения для инверсии населенности несколько отличаются. Различие, обусловленное наличием в первом случае множителя 2, возникает из-за того, что при излучении одного фотона в трехуровневом лазере инверсия населенности изменяется на 2 (N2 уменьшается на единицу, а N1 увеличивается на единицу), тогда как в четырехуровневом лазере она изменяется на единицу.