Решение задачи. Данное кафе может рассматриваться как многоканальная СМО с отказами, поскольку клиентам на вокзале некогда ожидать обслуживания в очереди

Данное кафе может рассматриваться как многоканальная СМО с отказами, поскольку клиентам на вокзале некогда ожидать обслуживания в очереди, и если все столы заняты ранее пришедшими клиентами, то вновь прибывший клиент покидает кафе необслуженным. Параметры системы: n = 3, λ = 20 (чел./ч), μ = 1 / Т_об = 1/6 (чел./мин), ρ = λ / μ = 20/10 = 2 (эрланга).

Вычисление предельных вероятностей состояний системы удобно проводить в таблице 5.4.

Сначала производим вычисления в столбце 2 по формуле (k - число занятых каналов), которая следует из формулы в 3-й строке таблицы 5.3. Вычисляется сумма всех элементов столбца 2: ∑ = 6,333. Вероятность того, что все столы свободны р₀ = 1/6,333 = 0,158 (см. формулу в 3-й строке таблицы 5.3). Предельные вероятности р_k (столбец 3) вычисляются умножением элементов столбца 2 на вероятность р₀. Сумма эле­ментов столбца 3 должна быть равна 1+Δ, где Δ — ошибка округления.

Таблица 5.4 – Расчет предельных вероятностей состояний системы

Значения случайной величины k (число занятых столов)		рk	kpk
	1,000	0,158
	2,000	0,316	0,316
	2,000	0,316	0,632
	1,333	0,211	0,633
∑	6,333	1,001	1,581

Значения элементов столбца 4 получаются умножением эле­ментов столбца 1 на соответствующие элементы столбца 3. Сумма элементов столбца 4 равна среднему числу занятых каналов (см. 9-ю строку таблицы 5.3).

Вероятность того, что клиент получит отказ, равна вероятно­сти того, что заняты все три столика, т.е. р₃ = 0,211 (см. 4-ю стро­ку таблицы 5.3).

Вероятность того, что клиент будет обслужен (относительная пропускная способность кафе), определяется по формуле (см. 6-ю строку таблицы 5.3) , т.е. из 100 клиентов, обращающихся в кафе, в среднем 79 клиентов будут обслужены и 21 – получит отказ.

Абсолютная пропускная способность кафе, т.е. среднее число клиентов, обслуживаемых в единицу времени, (см. 7-ю строку таблицу 5.3) составляет

.

4 Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

Пусть в n -канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью λ; число мест в очереди ограничено и равно m. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением .

Таблица 5.5 – Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)	.
	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящийся на один канал
	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)

Продолжение таблицы 5.5

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
	Вероятности состояний СМО
	Вероятность отказа заявке
	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
	Относительная пропускная способность
	Абсолютная пропускная способность
	Среднее число занятых каналов (т.е. среднее число заявок, находящихся под обслуживанием)
	Среднее число заявок, находящихся в очереди
	Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием)
	Среднее время ожидания заявки в очереди
	Среднее время пребывания заявки в системе
	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получившим отказ

5 Многоканальная СМО с неограниченной длиной очере­ди

Рассмотрим СМО, состоящую из n ≥ 1 каналов обслуживания, с ожиданием и без ограничения на длину очереди. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда все n каналов заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания. Любая пришедшая заявка будет обслужена. Поток заявок и поток обслуживаний каждым каналом – простейшие с интенсивностью соответственно λ и μ.

Таблица 5.6 – Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящийся на один канал
	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)
	Вероятности состояний СМО
	Вероятность отказа заявке
	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
	Относительная пропускная способность
	Абсолютная пропускная способность
	Среднее число занятых каналов (т.е. среднее число заявок, находящихся под обслуживанием)
	Среднее число заявок, находящихся в очереди
	Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием)
	Среднее время ожидания заявки в очереди
	Среднее время пребывания заявки в системе
	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получившим отказ