СМО с ограниченной очередью

СМО с ограниченной очередью. СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.

Очевидно: для вычисления предельных вероятностей состояний и показателей эффективности таких СМО может быть использован тот же подход, что и выше, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию (как, например, мы делали при выводе формулы (33)), а конечную.
Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе, как и ранее, определяем по формулам Литтла (44) и (43).

СМО с ограниченным временем ожидания. На практике часто встречаются СМО с так называемыми "нетерпеливыми" заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потере качества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценность (или даже смысл), если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.
В простейших математических моделях таких систем предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, распределенное по показательному закону с некоторым параметром υ, т.е. можно условно считать, что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть систему с интенсивностью υ.
Соответствующие показатели эффективности СМО с ограниченным временем получаются на базе результатов, полученных для процесса гибели и размножения.
В заключение отметим, что на практике часто встречаются замкнутые системы обслуживания, у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник "блокируется" на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значениях интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.
Многоканальная СМО с ожиданиями

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданиями (число каналов равно n), в которой предусмотрены m мест в очереди на обслуживание. В СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность обслуживания μ одним каналом одной заявки также известна. Необходимо найти вероятности всех состояний системы и ее показатели эффективности.
Пронумеруем состояния системы по числу заявок, связанных с системой, т. е. учитываем и заявки, которые уже обслуживаются, и заявки, которые только ожидают обслуживания, т. е. стоят в очереди:

– S ₀ – все каналы свободны и ни одной заявки не стоит в очереди;

– S ₁ – 1 канал занят, очереди нет;

– S _к – k каналов занято, очереди нет;

– S_n – n каналов занято, очереди нет;

– S_n ₊₁ – n каналов занято, одна заявка стоит в очереди;

– S_n _+m – n каналов занято, m заявок стоят в очереди.

Изобразим граф состояния данной СМО (рис. 10).

Рис. 10

Таким образом, заявки будут поступать в систему массового обслуживания до тех пор, пока не будут заняты все каналы и все места в очереди. Если заявка прейдет в систему и застанет ее в состоянии S_n _{+ m}, то она покидает систему не обслуженной.
Определим показатели эффективности многоканальной СМО:

· вероятность того, что заявка получит отказ и покинет систему не обслуженной Р_отк;

· абсолютную пропускную способность А;

· относительную пропускную способность Q;

· число занятых каналов ,

· среднее число заявок в очереди ,

· среднее число заявок, связанных с СМО, .

Для того, чтобы рассчитать характеристики, необходимо сначала найти вероятности всех состояний системы. для этого воспользуемся формулами Эрланга:

(52)
при этом – это приведенная интенсивность, она равна отношению интенсивности поступления заявок к интенсивности обслуживания μ.
Вероятность отказа есть не что иное, как вероятность того, что поступившая в систему заявка найдет ее в состоянии S_n+m, т. е. все каналы и места в очереди заняты, следовательно, Р_отк равна P_n+m, которую мы уже нашли [см. (52)].

(53)
Событие, состоящее в том, что заявка, поступившая в систему, будет обслужена или хотя бы встанет в очередь на обслуживание, является противоположным событию S_n _{+ m}, следовательно, его вероятность будет равна

(54)
Зная относительную пропускную способность системы, легко можно найти абсолютную пропускную способность по следующей формуле

. (55)
Определим среднее число занятых каналов. Каждый канал в среднем в единицу времени обслуживает μ заявок. Вся СМО обслуживает А заявок, тогда

. (56)
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины, т. е.

. (57)
Среднее число заявок, связанных с системой, т. е. заявки, которые уже обслуживаются, и те, которые еще стоят в очереди и ждут обслуживания, получим как сумму числа занятых каналов и среднего числа заявок в очереди :