2015-04-08
1646
1 Представим данную ситуацию в виде матричной игры. У руководства магазина А четыре стратегии: Аi - продавать товар i -го вида (i = 1,4). Аналогично у руководства магазина В стратегии Вj - продавать товар j -го вида (j = 1,4).
Построим платежную матрицу данной игры на рабочем листе MS Excel в ячейках А1:Е5 (таблица 7.1).
Таблица 7.1 – Платежная матрица
| А | В | С | D | E | |
| В1 | В2 | В3 | В4 | ||
| А1 | -13 | ||||
| А2 | -12 | ||||
| А3 | -20 | ||||
| А4 | -7 |
Определим, имеет ли игра оптимальное решение в чистых стратегиях, т.е. проверим наличие седловой точки. Чтобы рассчитать верхнюю и нижнюю чистые цены игры, в столбец аi (F1:F5) вводим функцию МИН, а в строку βj (A6:E6) - функцию МАКС, получаем матрицу следующего вида (таблица 7.2).
Таблица 7.2 – Определение седловой точки
| А | В | С | D | E | F | |
| В1 | В2 | В3 | В4 | ai | ||
| А1 | -13 | -13 | ||||
| А2 | -12 | -12 | ||||
| А3 | -20 | -20 | ||||
| А4 | -7 | -7 | ||||
| βj |
Далее аналогично вычисляем:
|
|
|
; 
.
Так как а 
β, то игра не имеет решения в чистых стратегиях.
2 Решение игры в смешанных стратегиях
2.1 Преобразование платежной матрицы. Чтобы свести игру к задаче линейного программирования, увеличим все элементы платежной матрицы на 20 (таблица 7.3).
Таблица 7.3 – Преобразование платежной матрицы
| А | В | С | D | E | |
| В1 | В2 | В3 | В4 | ||
| А1 | |||||
| А2 | |||||
| А3 | |||||
| А4 |
2.2 Построение математической модели.
Задача линейного программирования для игрока А:
где 
, pj – вероятность, с которой игрок А применяет свою j -ю чистую стратегию, v - цена игры.
2.3. Технология решения задачи средствами Excel. Строим следующую таблицу (таблица 7.4).
Таблица 7.4 – Решение задачи в Excel
| А | В | С | D | E | F | G | H | |
| Имя | Переменные | |||||||
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | |||||
| Значение | 0,0129 | 0,0168 | 0,009 | |||||
| Нижняя граница | ||||||||
| Верхняя граница | ||||||||
| ЦФ | Направление ЦФ | |||||||
| Коэффициент ЦФ | 0,039 | min | ||||||
| Ограничения | ||||||||
| Вид | левая часть | знак | правая часть | |||||
| > | ||||||||
| > | ||||||||
| > | ||||||||
| 1,387 | > |
Решив данную задачу средствами Excel, получаем:
х1 = 0,0129; х2 = 0,0168; х3 = 0,009; fmin = 0,039.
Для определения смешанной стратегии, воспользуемся формулами:
|
|
|
.
Отсюда смешанная стратегия: р = (0,333; 0,434; 0,233; 0), N =25,79.
3 Анализ полученных результатов
Итак, оптимальной стратегией магазина А будет продажа товаров в следующей пропорции: 33,3 % товара 1-го вида; 43,4 % товара 2-го вида; 23,3 % товара 3-го вида. Средняя прибыль составит 25,79 ден. ед.
