Примеры решения задач. Пример 5. Дано очень тонкое кольцо, масса которого и радиус

Пример 5. Дано очень тонкое кольцо, масса которого и радиус . Найти: 1) момент инерции кольца относительно его центра; 2) моменты инерции относительно осей (см. рис. к задаче); 3) момент инерции кольца относительно оси , которая является его касательной.

Решение. Найдем момент инерции кольца относительно точки , для этого разобьем его на бесконечно малые части. Учтем, что для всех частей кольца расстояние до точки одинаково и равно . Запишем выражение для момента инерции твердого тела относительно точки

Важно помнить, что вышеприведенное соотношение справедливо для бесконечно тонкого кольца. Из рисунка видно, расстояние от оси до всех бесконечно малых частей одинаково, и равно , поэтому момент инерции кольца относительно этой оси равен моменту инерции его относительно точки , т.е.

Запишем соотношение (4.13), учтем при этом предыдущее соотношение, получим следующее выражение:

Т.к. кольцо симметрично относительно оси и , то моменты инерции его относительно этих осей одинаковы . С учетом этого, предыдущее равенство приводит с следующему результату:

Выберем ось , которая является касательной к кольцу и параллельна оси (см. рис. к задаче). Найдем момент инерции кольца относительно этой оси по теореме Штейнера–Гюйгенса

Пример 6. Физический маятник представляет собой стержень длиной и массой с прикрепленным к одному из его концов диском массой и радиусом . Определить момент инерции такого маятника относительно оси , проходящей через точку на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (см. рис.).

Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня и диска :

. (1)

Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня и диска относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. см. выше. Чтобы определить моменты инерции и , надо воспользоваться теоремой Штейнера–Гюйгенса: