Примеры решения задач. Пример 9. Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной поверхности, упруго отскакивает от гладкой вертикальной стенки (см

Пример 9. Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной поверхности, упруго отскакивает от гладкой вертикальной стенки (см. рис, вид сверху). Найти точку, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в процессе всего движения.

Решение. Запишем уравнение моментов для твердого тела

.

Рассмотрим все внешние силы, действующие на шайбу в процессе движения.

При движении шайбы к стенке на нее действуют две силы, сила тяжести и сила реакции гладкой горизонтальной поверхности . Векторы этих сил перпендикулярны плоскости рисунка. Сумма этих сил равна нулю, и кроме того, линии действия их совпадают, поэтому сумма моментов сил и равна нулю относительно любой точки.

В момент удара о стенку на шайбу действует вертикальная стенка с силой реакции . Момент этой силы относительно точки всегда будет равен нулю в том случае, если точка лежит на линии ее действия, т.к. плечо силы равно нулю.

Вывод: Момент импульса шайбы сохраняется со временем относительно точек, лежащих на перпендикуляре к вертикальной стенке, проходящем через точку удара (пунктирная линия).

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тензор момента инерции твердого тела

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси . Разобьем данное тело на бесконечно малых частей, размер которых по сравнению с очень мал, поэтому их можно считать материальными точками. Для описания этого движения возьмем уравнение моментов для системы материальных точек и cпроектируем это равенство на ось врщения , получим следующее уравнение:

. (4.29)

Из (4.29) следует, что производная от проекции момента импульса на ось вращения равна сумме проекций моментов сил, действующих на данное тело. Другими словами, производная от момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна сумме моментов сил относительно той же оси вращения.

Выразим момент импульса тела относительно оси через угловую скорость. Учтем, что угловая скорость вращения одинакова для всех бесконечно малых частей тела. Величина проекции момента импульса той части равна произведению величины импульса на плечо вектора импульса относительно оси вращения, т.е.

. (4.30)

Записав аналогичные соотношения для всех частей, и сложив их, получим следующее выражение:

, (4.31)

где момент импульса тела относительно оси вращения ; момент инерции тела относительно оси вращения.

Окончательно имеем следующее соотношение:

. (4.32)

Таким образом, проекция момента импульса тела относительно оси вращения равна моменту инерции тела относительно той же оси, умноженному на проекцию угловой скорости.

Заметим, что момент импульса относительно оси вращения является алгебраической величиной, знак этой величины определяется знаком проекции угловой скорости на ось вращения.

Соотношение (4.32) для вектора момента импульса относительно некоторой точки и вектора угловой скорости является более сложным, т.к. вектор угловой скорости при закрепленной оси вращения направлен по этой оси, а направление вектора момента импульса зависит от выбора точки .

По этой причине векторы и не являются параллельными векторами, а, следовательно, нельзя получить вектор умножением вектора на число. Из курса линейной алгебры известно, любой вектор, в том числе, векторы момента импульса и угловой скорости можно представить в виде столбцов:

.

В этом случае, всегда найдется матрица размером 3×3, такая, для которой выполняются следующие соотношения:

,

где матрица 3×3 называется тензором момента инерции.

Заметим, что эта матрица является симметричной относительно главной диагонали, т.е.

.

Отсюда вытекает следующее векторное соотношение:

(4.32а).

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно некоторой точки равен тензору момента инерции этого тела умноженному на вектор угловой скорости.

Получим уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси, для чего спроектируем равенство (4.32) на ось , и вместо подставим в равенство (4.29), будем иметь выражение

(4.33)

где проекция углового ускорения на ось вращения.

Окончательно имеем следующее уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

(4.34)

Из уравнения (4.34) следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на проекцию его углового ускорения равно сумме моментов всех сил, действующих на тело, относительно оси вращения.

Правило знаков. Если вектор угла поворота, направление которого определяется по правилу «буравчика», направлен по оси вращения , туда же направлен и вектор угловой скорости . При этом проекция угловой скорости положительная величина.

Для ускоренного характера движения вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, и его проекция положительная величина; для замедленного характера движения проекция углового ускорения является отрицательной величиной.

Для определения знака проекции момента силы, вначале нужно с помощью правила «буравчика» определить направление вектора момента силы относительно оси , а уже затем определить знак его проекции.

Получим выражение для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Учтем при этом, что кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий бесконечно малых его частей, т.е.

Таким образом, выражение для кинетической энергии вращающегося тела имеет вид

(4.35)

Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси на бесконечно малом участке траектории вычисляется по формуле

, (4.36)

Работа внешних сил при повороте тела на угол вычисляется с помощью следующего интеграла:

. (4.37)

Вопросы для самоконтроля

1. Какое соотношение выражает взаимосвязь проекции момента импульса твердого тела на ось вращения с проекцией угловой скорости? Какие величины в него входят?

2. Дайте определение момента импульса, момента инерции твердого тела относительно оси вращения.

3. Сформулируйте основное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси в инерциальной системе отсчета.

4. Сформулируйте основное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси в неинерциальной системе отсчета.

5. Приведите примеры сил инерции.

6. Объясните правила, используемые для определения знаков проекции угловой скорости и момента силы относительно оси вращения.

7. По какой формуле вычисляется кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Какие величины в нее входят?

8. По какой формуле определяется механическая работа силы, действующей на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси? Какие величины в нее входят?