Момент силы, момент импульса, момент инерции

Динамика твердого тела

При изучении закономерностей поступательного движения твердого тела было установлено, что основным уравнением, описывающим данный тип движения, является второй закон Ньютона. Установлено: характеристики движения тела зависят как от выбора систем отсчета, так и от интенсивности взаимодействия тела с окружающими его телами (в инерциальных системах отсчета характеристики движения определяются только взаимодействием).

Для измерения интенсивности взаимодействий использовали величину, называемую силой, а инертность при поступательных движениях оценивали массой тела. Оказывается, для вращательных движений результат взаимодействия зависит как от силы и ее направления, так и от точки приложения. В сказанном нетрудно убедиться на следующем примере: если два человека прикладывают одинаковые усилия перпендикулярно двери, то она будет вращаться в направлении той силы, точка приложения которой наиболее удалена от оси вращения. Для вращательных движений мерой взаимодействия является момент силы.

Рассмотрим понятие момента силы относительно некоторой точки . Построим вектор силы и ее линию действия (пунктирная линия на рис. 4.1.а). Проведем перпендикуляр из точки к линии действия силы, величину которого обозначим и назовем его плечом силы.

Величиной момента силы относительно точки называется произведение величины силы на ее плечо, т.е.:

. (4.1)

Единицы измерения момента силы в системе СИ – .

Для того, чтобы в дальнейшем интенсивно использовать аппарат векторной алгебры, введем понятие вектора момента силы.

Проведем из точки в точку приложения силы радиус–вектор , и назовем его радиус–вектор силы. Из рис. 4.1.а видно, что:

. (4.2.)

С учетом соотношения (4.2), равенство (4.1) примет вид:

. (4.3)

Последнее соотношение позволяет записать для вектора момента силы следующее равенство:

. (4.4)

Порядок перемножения векторов выбирают из соображений так, чтобы векторы образовывали правую тройку векторов (см. рис. 4.1.б). Направление вектора момента силы относительно точки определяется по правилу «буравчика».

Вращаем буравчик от вектора к вектору , тогда его поступательное движение указывает на направление вектора момента силы . Важно помнить, что направление вектора всегда перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , или и .

Если радиус–вектор силы задан в декартовой системе координат соотношением , а сам вектор силы как – , ( единичные вектора прямоугольной декартовой системы координат) то вектор момента силы находится следующим образом:

(4.4.а)

Кроме вектора момента силы, в динамике твердого тела часто пользуются проекцией этого вектора на некоторую ось , иначе эту величину называют моментом силы относительно оси. Выберем точку и построим векторы и так, как показано на рис. 4.2.

Из точки построим вектор момента силы , относительно этой точки. Выберем произвольно ось (см. рис. 4.2), и проведем перпендикуляр из конца вектора на ось , получим составляющую вектора по оси. Кроме того, построим плечо силы и отрезок, перпендикулярный оси и линии действия силы , величину которого обозначим и назовем плечом силы относительно оси .

Из рис. 4.2 видно, что длина составляющей связана с длиной вектора следующим соотношением , но . Подставляя из последнего равенства в предыдущее, имеем следующее соотношение для проекции момента силы на ось :

. (4.5)

Таким образом, величина проекции момента силы на ось (момент силы относительно оси ) равна произведению величины силы на ее плечо относительно оси .

Важно помнить, что последнее соотношение позволяет находить только величину проекции вектора на ось . Знак проекции определяется по рисунку. Кроме того, если вектор силы параллелен оси , или ось лежит в плоскости векторов и , то проекция вектора на эту ось равна нулю.

Важной характеристикой динамики твердого тела является момент импульса. Введем понятие момента импульса материальной точки относительно заданной точки .

Рассуждая также, как делали при построении момента вектора силы, построим вектор момента импульса (см. рис. 4.3.а), где перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия вектора импульса есть плечо этого вектора относительно точки .

Вектор момента импульса материальной точки относительно заданной точки равен векторному произведению радиус–вектора, проведенного из точки в точку приложения импульса на вектор импульса, т.е.:

. (4.6)

Единицы измерения вектора момента импульса в системе СИ – .

Векторы образуют правую тройку векторов (см. рис. 4.3.б). Направление вектора момента импульса относительно точки определяется по правилу «буравчика». При вращении буравчика от вектора к вектору , его поступательное движение укажет на направление вектора момента импульса .

Важно помнить, что направление вектора всегда перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , или и .

Если радиус–вектор импульса задан в декартовой системе координат соотношением , а сам вектор импульса как– , то вектор момента импульса находится из соотношения:

(4.6.а)

Величина вектора момента импульса материальной точки равна произведению величины вектора импульса на его плечо, т.е.:

. (4.7)

Величина проекции момента импульса на ось (момент импульса относительно оси ) равна произведению величины импульса материальной точки на его плечо относительно оси.

Важно помнить, что последнее определение позволяет находить только величину проекции вектора на ось . Кроме того, если вектор импульса параллелен оси , или ось лежит в плоскости векторов и , то проекция вектора на эту ось равна нулю.

Введем понятие вектора момента импульса твердого тела. Момент импульса, как и большинство физических величин, является величиной аддитивной. Возьмем твердое тело и разобьем его на бесконечно малые части, такие, что размер части пренебрежимо мал по сравнению с размерами твердого тела. Определим момент импульса каждой части (). Момент импульса всего тела равен при этом сумме моментов всех его частей, т.е.:

. (4.8)

Таким образом мы ввели понятие величины, которая является аналогом вектора импульса твердого тела для поступательного движения.

Для поступательных движений тел мерой инертности является масса. Способность тел сохранять состояние равномерного вращения в отсутствии моментов внешних сил зависит не только от их массы, но и от конфигурации этих тел. Очевидно, что из двух маховиков с равными массами, маховик, имеющий больший радиус, обладает большей способностью сохранять равномерное вращательное движение. Для этих целей вводится понятие момента инерции.

Введем в начале понятие момента инерции материальной точки относительно заданной точки и оси .Выберем материальную точку массой . Проведем из заданной точки радиус–вектор в данную точку, расстояние от нее до оси обозначим через (см. рис. 3.4).

Моментом инерции материальной точки относительно выбранной точки называется величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от нее до точки , т.е.

. (4.9)

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от материальной точки до оси , т.е.

. (4.10)

Единицы измерения момента инерции в системе СИ – .

Введем понятия момента инерции твердого тела, используем для этого свойство аддитивности этой величины. Разобьем твердое тело на бесконечно малых частей, найдем момент инерции каждой части относительно точки ().

Момент инерции твердого тела относительно точки равен сумме моментов инерции бесконечно малых его частей, т.е.:

. (4.11)

Момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений масс бесконечно малых частей на квадрат расстояний от данных частей до оси , т.е.:

. (4.12)

Чем точнее мы хотим оценить момент инерции тела с помощью указанных сумм, тем большее число бесконечно малых частей мы должны брать, поэтому точные значения моментов инерций твердого тела относительно точки и оси будут совпадать с пределами от правых частей равенств (4.10) и (4.11) при условии, что , т.е.:

, . (4.12а)

Вопросы для самоконтроля

1. Какие характеристики вращательного движения аналогичны вектору силы и вектору импульса при поступательном движении?

2. Что называется плечом вектора силы относительно точки?

3. Что называется плечом вектора силы относительно оси?

4. Дайте определение вектора момента силы относительно точки. Как вычисляется проекция момента силы на ось (величина момента силы относительно оси)?

5. В каких единицах в системе СИ измеряется момент силы?

6. Как определяется направление вектора момента силы? В каких случаях его величина равна нулю?

7. Зная, что радиус-вектор силы задан выражением , и сам вектор силы как – , запишите соотношение, по которому можно рассчитать вектор момента силы.

8. Что называется плечом вектора импульса относительно точки?

9. Что называется плечом вектора импульса относительно оси?

10. Дайте определение вектора момента импульса материальной точки относительно заданной точки. Как вычисляется проекция момента импульса материальной точки на ось (величина момента импульса относительно оси)?

11. В каких единицах в системе СИ измеряется момент силы?

12. Как определяется направление вектора момента импульса? В каких случаях его величина равна нулю?

13. Зная, что радиус-вектор импульса задан как – , и сам вектор силы как – , запишите соотношение, по которому можно рассчитать вектор момента импульса материальной точки.

14. Что понимается под свойством аддитивности?

15. Дайте определение вектора момента импульса твердого тела. Как вычисляется величина проекции момента импульса тела на ось (момент импульса относительно оси)?

16. В каких единицах в системе СИ измеряется момент импульса?

17. Что называется моментом инерции материальной точки относительно некоторой точки?

18. Дайте определение момента инерции материальной точки относительно заданной оси.

19. Сформулируйте определение момента инерции твердого тела относительно точки.

20. Как находится момент инерции тела относительно оси?