Тело и точка. Новоевропейский предел (9.3.1993)

71 Аргумент «Ахиллес» Парменида или Зенона выворачивает наизнанку мир бесконечно малых. Перед Ахиллесом, который в простоте хотел только догнать черепаху, вот этот Ахиллес вот эту близкую черепаху, выбрасываются вдруг бесконечности, словно он попал в космическое пространство, летит со скоростью мысли и за одними галактиками встают перед ним другие, системы галак­тик, бесконечные бесконечности, и среди их бесчисленных точек где-то затеряна точка черепахи, которую он хотел догнать, но на всякое новое усилие ту точку уловить бесконечности отзываются выплескиванием из себя всё новых бесконечностей, всякая часть которых снова бесконечность. Ахиллес в конце концов теряется. Быстроногость ему не помогает, а как бы даже не наоборот. Он в апории; никакой напор не улучшит его положения, которое его должно по-настоящему озадачивать, потому что после бега за че­репахой оказалось намного худшим, чем до бега за ней, отчаянно плохим.

Вы скажете: но ведь всё это только потому, что черепаха и Ахиллес взяты как точки, т. е. не имеют протяжения в мыслен­ном эксперименте Парменида и Зенона, как современная физика вынуждена сводить всё, с чем имеет дело, будь то Солнце или эле­ментарная частица, к точечным массам, потом уже реконструируя, так сказать, Солнце и элементарную частицу как некое множество точечных масс. Разница, конечно, в том, что, как это говорится, новоевропейская математика после, например, Николая Кузанского уже умеет оперировать с бесконечно малыми, а пифагорейская ма­тематика еще не умела. Вернее будет сказать, что принципиально и решительно не хотела. Применительно к аргументу «Ахиллес» введение дифференциального и интегрального исчисления свелось бы к тому, что место схватывания Ахиллесом черепахи заранее

В. В. БИБИХИН

было бы введено как найденное. В этом заключается смысл но­воевропейского понятия предела в математике. Понятие преде­ла лежит в основе новоевропейского математического анализа. Пределом последовательности действительных чисел называется число, обладающее тем свойством, что члены — все — последо­вательности с каким-то достаточно большим порядковым номером начинают разниться от этого числа, назовем его а, как угодно мало. Это очень важное выражение. Разберем его. В нашей последова­тельности а,, а₂,... а_п,... а в отношении всякого а с порядковым номером можно спросить, существует ли а с каким-то другим порядковым номером, которое будет отличаться (разниться) от предела а еще меньше, и ответ каждый раз будет: да, конечно. Ахиллес может быть близко от черепахи, а может быть еще ближе того — что мешает? — и так без конца. В самом деле, нельзя же сказать по-честному, что он не может быть ближе: наверное мо­жет, всякий раз, во всяком своем положении. Если мы согласились с этим, а не согласиться нет причин, то нам предлагают понятие предела как числа, от которого, мы сказали, члены последователь­ности начинают разниться всё меньше и меньше. Если мы примем это понятие, построить математический анализ, дифференциаль­ное и интегральное исчисление будет делом техники.

Заметим главное. Проблема Ахиллеса в новоевропейской математике вовсе не разрешена. Ему никто не помог — даже не думал помогать — найти точку в бесконечности, с которой совпала бы его точка. Нежелание помогать Ахиллесу тут легко понять: действительно найти такую точку в принципе всё равно нельзя. Апория «Ахиллес» осталась неразрешимой, какой она и была с самого начала. Новоевропейская математика подошла к ней совсем с другого конца методом, который для античной ма­тематики был в принципе неприемлем. Словом предел был назван вовсе не последний минимальный зазор между сближающимися Ахиллесом и черепахой, а сама та ситуация, когда уменьшить это расстояние можно и еще раз можно и снова можно и опять можно. Словом предел, limes (отсюда математический символ lim и обобщенная форма записи предела последовательности действительных чисел: lim a_n = а), названо не действительно на­званное последнее, а именно вот эта ситуация, когда спрашивают: а можно еще ближе? — и нет никаких разумных оснований ска­зать: нет, нельзя; нет никаких разумных оснований не согласиться: да, можно ближе, почему бы нет, и так без конца. Иначе говоря, пределом названо как раз обнаруженное отсутствие предела при­ближения.

5. ТЕЛО И ТОЧКА. НОВОЕВРОПЕЙСКИЙ ПРЕДЕЛ

Это удивительное обстоятельство. Человек, легкомысленно относящийся к основаниям математики, легко может под симво­лом lim вообразить некий запрятанный среди бесконечно малых предел, но предел в математическом анализе означает на деле совсем другое, прямо противоположное, когда, деля и деля до бесконечности, мы действительно говорим: ну всё, предел, хва­тит! — однако это наш предел, предел нашего терпения, предел терпимого нами измельчения, который всё-таки наступает, и мы в конце концов взрываемся и говорим: да хватит же толочь воду в ступе.

Свидетельства о жизни и учении Зенона, А I (из Диогена Лаэрция): «... его бросили в ступу и измельчили». А 2 (Суда, ви­зантийский энциклопедист): «Его бросили в ступу и истолкли в порошок». Впрочем, однозначных свидетельств, что Зенона ис­толкли в порошок, нет; наоборот, по тому же Диогену, чуть ли не большинство говорит, что у него был противоположный, славный конец, а побили камнями тирана: «Зенон Элейский (он считается создателем диалектики), пытаясь свергнуть тирана... был схвачен и подвергнутый пытке не выдал своих сообщников, а тех, кто был верен тирану, оклеветал как предателей: их казнили по ложному обвинению, а Зенон сверг тиранию с помощью тирании и вернул мисийцам свободу» (А 9, Филострат Младший, III в., Жизнь Аполлония Тианского VII 2)³²*.

Измельчить Зенона в ступе, возможно, всё-таки не удалось. Остережемся, однако, говорить, что античность не могла спра­виться с бесконечностью, а Новое время сумело.

Еще раз: нуль в современной математике предел бесконеч­но малой переменной величины — бесконечно уменьшающей­ся — вовсе не потому, что кто-то видел, как очень малая величина следующим шагом достигает нуля, а потому, что для любого «наперед заданного» малого расстояния до нуля можно назвать меньшее. Предел в современной математике — операциональное понятие, описывающее наше состояние, наши действия, наши ахиллесовы метания внутри распускающейся бесконечности. Оттого, что Ахиллес не видит своим метаниям конца, у Зенона он признает свою неудачу в поимке черепахи, а в Новое время за­явил: предел, не уточняя, что под пределом он имеет в виду свое нежелание возиться дальше с этой черепахой.

Насчет операций с бесконечностью точнее будет сказать, странное дело, что Новое время разучилось с ней всерьез иметь

³²* См.: Фрагменты..., с. 298-300.