Пусть случайный эксперимент описывается случайной величиной X, распределение которой зависит от одного или несколько параметров. К ним, в частности, относятся среднее, мода, медиана, среднее квадратичное отклонение, дисперсия, коэффициенты эксцесса и асимметрии, размах вариации, называемые параметрами генеральной совокупности. При исследовании случайной величины X из генеральной совокупности ее возможных значений извлекается выборка объема n. По данной выборке можно приближенно вычислить значения каждого из изучаемых параметров, которые в статистике называются числовыми оценками параметров или просто оценками.
Данные характеристики условно разбиваются на четыре группы:
· показатели положения вариант на числовой оси;
· показатели разброса вариант относительно своего центра, определяющие кучность данных около центра;
· показатели асимметрии распределения вариант около своего центра;
· показатели, описывающие закон распределения.
Пусть выборка задана вариационным рядом (табл. 4).
|
|
Таблица 4. Вариационный ряд
Варианты X | ||||
Относительные частоты wi |
Выборочным средним значением выборки называется число, определяемое по формуле , где xi – варианта с частотой ni, n – число наблюдений, . Если частоты равны единице, то k = n. При достаточно больших n используют формулу: где k – число значений вариационного ряда, wi – относительная частота варианты xi.
Выборочной медианой называется значение признака, находящегося в середине вариационного ряда. Если число вариант нечетно, т. е. , то медианой является ()-я варианта (); если же число вариант четно, то медиана равна среднему арифметическому двух значений в середине ряда: .
Выборочной модой (Мо) называется варианта выборки, имеющая наибольшую частоту. Если несколько соседних значений имеют наибольшую частоту, то модой является их среднее арифметическое:
, где для вариант частоты . Если две или более несмежных вариант имеют разные наибольшие частоты, то ряд называется полимодальным. Если же все варианты встречаются одинаково часто, то ряд моды не имеет.
Мода и медиана используются в качестве характеристики среднего положения в случае, если границы ряда нечеткие или если ряд не симметричен.
Для описания рассеивания значений случайной величины относительно выборочного среднего используются выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.
Выборочной дисперсией значений выборки { x 1, x 2,…, xn } называется число, определяемое по формуле
.
После преобразований получается следующая формула:
.
Если задан вариационный ряд, то используется формула , где k – число вариант, wi – относительная частота варианты .
|
|
Выборочным средним квадратическим отклонением называется число, которое находится по формуле .
Пример 7.2. Выборка задана распределением частот
-1 | ||||
Найти выборочную среднюю , выборочную дисперсию ,выборочное среднее квадратическое отклонение .
Решение
;
;
.
Тест 7. 12. Для вариационного ряда
выборочное среднее , выборочная дисперсия равны:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
Коэффициент вариации характеризует относительное значение среднего квадратического отклонения и служит для сравнения колеблемости несоизмеримых показателей.
Обобщающими характеристиками выборочных распределений являются моменты вариационного ряда.
Начальным выборочным моментом т-го порядка ( =0,1,2,…) называется величина , где – наблюденное значение с частотой , – число наблюдений, . Очевидно, что , , и т. д.
Центральным выборочным моментом т-го порядка ( =0,1,2,…) называется величина , где – наблюденное значение с частотой , – число наблюдений, , – выборочное среднее. Очевидно, что , , ,
, .
Важную роль при исследовании статистических совокупностей играют асимметрия и эксцесс распределения признака, которые вычисляются соответственно по формулам: , .
Если кривая распределения симметрично относительно прямой , то распределение симметрично. Тогда (). При асимметричном распределении вершина кривой сдвинута относительно ординаты выборочной средней. Если , то асимметрия правосторонняя или положительная (рис. 18а), если , то левосторонняя или отрицательная (рис. 18б).
а) б)
Рис. 18. Правосторонняя (а) и левосторонняя (б) асимметричность