2015-04-20
744
Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение (рис. 19а). Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение (рис. 19б).
а) б)
Рис. 19. Положительный (а) и отрицательный (б) эксцессы распределения.
Точечные оценки параметров распределения. Пусть случайный эксперимент описывается случайной величиной X. Повторяя случайный эксперимент n раз, получаем последовательность наблюденных значений { x 1, x 2,…, xn } – выборку объема n из генеральной совокупности случайной величины Х.
Статистической оценкой параметра 
называется приближенное значение параметра, полученное на основе статистических (выборочных) данных 
, где 
– выборочная характеристика, вычисляемая по результатам 
наблюдений величины Х, используемая в качестве оценки 
-характеристики генеральной совокупности. В качестве 
могут быть параметры 
, параметр распределения и т. д.
|
|
|
По статистическим данным нельзя получить точную оценку неизвестного параметра 
, но можно найти приближенную оценку. Более того, каждая выборка объема n из генеральной совокупности дает свою оценку одного и того же неизвестного параметра 
, т. е. для 
можно получить бесконечное множество его оценок. Поэтому оценку 
можно считать случайной величиной, а ее значение 
, вычисленное по одной данной выборке, можно рассматривать как одно из ее возможных значений.
Различают точечные и интервальные оценки.
Точечная оценка параметра 
определяется одним числом 
. Качество оценки 
устанавливается по приведенным ниже трем свойствам.
Несмещенность. Оценка 
неизвестного параметра 
генеральной совокупности называется несмещенной, если для фиксированного числа наблюдений выполняется равенство 
.
Состоятельность. Оценка 
, найденная по выборке объема , называется состоятельной, если для любого 
выполняется равенство 
, которое означает, что при увеличении объема выборки значение 
сходится по вероятности к неизвестному параметру 
.
Эффективность. Несмещенная оценка 
неизвестного параметра 
называется эффективной, если среди всех подобных оценок того же параметра она имеет наименьшую дисперсию: 
.
Оценкой математического ожидания случайной величины Х является ее выборочная средняя: 
. Она является несмещенной, состоятельной и эффективной.
Выборочная дисперсия 
является смещенной оценкой для дисперсии случайной величины X.
Тест 7.13. Точечная оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, называется:
|
|
|
1) смещенной;
2) несмещенной;
3) эффективной;
4) неэффективной;
5) состоятельной.
Тест 7.14. Выборочная средняя 
является:
1) интервальной оценкой генеральной средней;
2) точечной оценкой генеральной дисперсии;
3) генеральной средней;
4) точечной оценкой генеральной средней;
5) интервальной оценкой генеральной дисперсии.
Тест 7.15. Выборочная дисперсия 
является:
1) интервальной оценкой генеральной средней;
2) точечной оценкой генеральной дисперсии;
3) генеральной средней;
4) точечной оценкой генеральной средней;
5) интервальной оценкой генеральной дисперсии.
Тест 7.16. Выборочное среднее квадратическое отклонение является:
1) интервальной оценкой генеральной средней;
2) точечной оценкой генеральной дисперсии;
3) генеральной средней;
4) точечной оценкой генеральной средней;
5) точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения.
Тест 7.17. Точечной оценкой не является:
1) выборочная средняя;
2) выборочная дисперсия;
3) выборочное среднее квадратическое отклонение;
4) доверительный интервал.
Величина 
является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой дисперсии случайной величины X и называется несмещенной выборочной дисперсией, а смещенная дисперсия – генеральной дисперсией, или дисперсией генеральной совокупности.
Величина 
называется стандартным отклонением.
Пример 7.3. Выборочная дисперсия равна 2,7 при объеме выборки 
. Как оценить генеральную дисперсию?
Решение
Оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия 
.
Тест 7.18. Точечной оценкой генеральной дисперсии является:
1) исправленная выборочная дисперсия;
2) выборочная дисперсия;
3) выборочное среднее квадратическое отклонение;
4) доверительный интервал.
Тест 7.19. Выборочная дисперсия равна 2,5 при объеме выборки n = 26, тогда исправленная выборочная дисперсия равна:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Стандартная ошибка выборки определяется по формуле 
.
