И кумулятивная кривая

Статистической (эмпирической) функцией распределения выборки называется функция действительного аргумента x, определяющая относительную частоту события {X < x}: , где
n_x – число вариант, меньших x.

Основными свойствами статистической функции распределения выборки являются:

1) ;

2) функция является неубывающей;

3) при и при , где и – соответственно наименьшее и наибольшее значения выборки;

4) .

Если известен вариационный ряд выборки, то статистическая функция распределения определяется как .

Для построения статистической функции распределения F *(x) в случае известного интервального ряда осуществляется переход к вариационному ряду с равноотстоящими или неравноотстоящими вариантами.

Пример 7.1. Приведена статистика по годовым темпам инфляции X% в некоторой стране за 10 лет: 1,8; 3,2; –0,6; 0,3; 1,8; –0,6; 2,8; 3,2; 5,1; 1,8.

Необходимо выполнить следующее:

1) построить вариационный ряд относительных частот;

2) построить полигон относительных частот;

3) построить эмпирическую функцию распределения F^* (x);

4) оценить P (1,7 < X < 2,9);

5) оценить P (X > 3).

Решение

1. Сгруппируем данные и составим вариационный ряд:

xi	-0,6	0,3	1,8	2,8	3,2	5,1
ni
wi	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2	0,1

2. Полигон относительных частот представлен на рис. 16.

0,3

0,2

0,1

-0,6 0,3 1 1,8 2,8 3,2 5,1 x_i

Рис. 16

3. Строим эмпирическую функцию распределения (по аналогии с функцией распределения дискретной величины):

График этой функции изображена рис. 17.

Рис. 17

4. P (1,7 < X < 2,9) = F (2,9) – F (1,7) = 0,8 – 0,6 = 0,2;

5. P (X > 3) = 1– P (X < 3) = 1– (0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,1) = 1 – 0,7 = 0,3.

Тест 7.9. Задан вариационный ряд

X			4,5	6,2
	0,2	0,15	0,4	?	0,05

Относительная частота варианты 6,2 равна:

1) 0,5;

2) 0,3;

3) 0,2;

4) 0,1.

Тест 7.10. Задан вариационный ряд

X			4,5	6,2
	0,2	0,15	0,4	0,2	0,05

Ранг варианты 6,2 равен:

1) 5;

2) 4;

3) 2;

4) 1.

Тест 7. 11. Задан вариационный ряд

X			4,5	6,2
	0,2	0,15	0,4	0,2	0,05

Вероятность равна:

1) 0,2;

2) 0,05;

3) 0,5;

4) 0,25.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется вариационным рядом?

2. Как строится интервальный ряд?

3. Какой ряд называется интервальным вариационным рядом с равноотстоящими вариантами?

4. Как строится гистограмма?

5. Что называется кумулятивной кривой?

6. Что называется статистической функцией распределения?

7. Какими свойствами обладает статистическая функция распределения?