Контрольная работа №2. В задачах 101–120найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

9 10 11 12 13 14 15

В задачах 101–120 найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

101. а) ; б) ; в) .

102. а) ; б) ; в) .

103. а) ; б) ; в) .

104. а) ; б) ; в) .

105. а) ; б) ; в) .

106. а) ; б) ; в) .

107. а) ; б) ; в) .

108. а) ; б) ; в) .

109. а) ; б) ; в) .

110. а) ; б) ; в) .

111. а) ; б) ; в) .

112. а) ; б) ; в) .

113. а) ; б) ; в) .

114. а) ; б) ; в) .

115. а) ; б) ; в) .

116. а) ; б) ; в) .

117. а) ; б) ; в) .

118. а) ; б) ; в) .

119. а) ; б) ; в) .

120. а) ; б) ; в) .

В задачах 121–140 найти производные у'_х.

121. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) ;

122. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

123. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

124. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

125. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

126. а) ;

б) , ;

в) ; г) ; д) .

127. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

128. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

129. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

130. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

131. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

132. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

133. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

134. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

135. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

136. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

137. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

138. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

139. а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

140. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

В задачах 141–160 найти приближённое значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.

141. .	142. .	143. .	144. .
145. .	146. .	147. .	148. .
149. .	150. .	151. .	152. .
153. .	154. .	155. .	156. .
157. .	158. .	159. .	160. .

В задачах 161–180 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция чётной, нечётной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки её экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.

161. .	162. .
163. .	164. .
165. .	166. .
167. .	168. .
169. .	170. .
171. .	172. .
173. .	174. .
175. .	176. .
177. .	178. .
179. .	180. .

181. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

182. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, даёт наименьшую сумму?

183. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

184. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого был бы равен 72 см³, причём стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

185. Из углов квадратного листа картона размером 18×18 см² нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы согнув лист по пунктирным линиям (см. рис.), получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?

186. Решить предыдущую задачу для прямоугольного листа размером 8×5 см².

187. Объём правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

188. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

189. Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объёме V наименьшую полную поверхность.

190. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

191. Из круга вырезан сектор с центральным углом α. Из сектора свёрнута коническая поверхность. При каком значении угла α объём полученного конуса будет наибольшим?

192. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

193. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим?

194. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

195. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

196. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

197. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

198. Доказать что конический шатёр данной вместимости требует наименьшего количества материи, когда его высота в раз больше радиуса основания.

199. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab).

200. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.

В задачах 201–220 найти неопределённые интегралы.

201. а) ; б) ; в) .