Аппроксимация многомерных функций

При решении самых разнообразных задач (инженерных, экономических, научных) нередко возникает потребность подобрать непрерывную функцию,

наиболее точно выражающую фактически наблюдаемые взаимосвязи между параметрами.

Предположим, что имеется набор пар данных типа вход-выход {(x1,y1), (x2,y2),..., (xn,yn)}, которые генерируются неизвестной функцией, искаженной шумом. Задача аппроксимации состоит в нахождении неизвестной функции у = F(x), которая в точках x1, x2, xn принимает значения, как можно более близкие к y1, y2,..., yn.

На практике вид искомой функции чаще всего определяют с помощью точечного графика, позволяющего наглядно проследить характер зависимости между входными и выходными параметрами.

Так, на рисунке видно, что на графике слева взаимосвязь переменных близка к линейной; поэтому фактические значения лучше всего аппроксими- руются прямой линией. Отклонения от этой линии можно интерпретировать как случайные колебания. Напротив, на графике справа реальная взаимосвязь величин х и у явно имеет нелинейный характер: какую бы прямую линию мы ни провели, отклонения точек от нее будут слишком большими, чтобы считаться случайными. В данном случае необходимо использовать параболу второго или третьего порядка, и тогда можно получить достаточно хорошее приближение (рис. 7.12).

Рисунок 7.12 – Взаимосвязь переменных

Ситуация заметно осложняется, когда необходимо проанализировать зависимость выходной переменной у не от одной, а от нескольких входных переменных сразу. В этом случае аппроксимация осуществляется с помощью многомерной функции у = F(x), где х = [ x1, x2, xn ] – вектор с n компонентами. Естественно, графический метод, позволяющий использовать для решения

задачи геометрическую интуицию, здесь не подходит. Модели на основе ис- кусственных нейронных сетей снимают эту проблемы, поскольку:

– доказано, что нейронные сети – универсальные аппроксиматоры, и позволяют имитировать любую непрерывную функцию с заданной точностью;

– исследователь избавлен от необходимости самостоятельно выдвигать гипотезы о виде приближающей функции;

– существуют быстрые алгоритмы обучения соответствующих нейронных сетей.

В силу указанных причин нейронные сети стали широко использоваться при решении сложных задач, требующих построения аппроксимирующих зависимостей.