2015-04-30
2897
1. Замена переменных в неопределенном интеграле
Если
,
то тогда
. (4.1)
Пусть требуется вычислить интеграл
Выбирая в качестве новой переменной функцию 
, такую что подынтегральное выражение представляется в виде
Цель данного приема состоит к переходу более удобной для интегрирования функции 
.
Пример. 
. Вводя 
, получаем
2. Интегрирование по частям
Этот прием представляет сведение данного интеграла 
к интегралу 
с помощью формулы
(4.2)
Этот прием ведет к цели, если находится легче, чем .
Это правило хотя и имеет более ограниченную область применения по сравнению с заменой переменной, существует целый класс функций, который интегрируется именно с помощью этого метода. Сюда можно отнести:
где 
есть любое целое положительное число.
Применение формулы (4.2) предусматривает последовательное понижение степени 
до нулевой.
3. Интегрирование простых дробей
К простым дробям относятся
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
где 
- действительные числа, 
. Кроме того, трехчлен 
не имеет действительных корней, т.е.
Интегрирование (1) и (2) не представляет трудностей:
(4.3)
(4.4)
Для интегрирования дроби (3) применим метод замены переменной. Выделяя сначала из знаменателя полный квадрат
и прибегнув к подстановке
и обозначив
получаем
а сам интеграл
Возвращаясь обратно к переменной окончательно получаем:
(4.5)
Для случая (4) подстановка приводит
Первый интеграл вычисляется подстановкой 
, 
:
(4.6)
Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы
(4.7)
где
Формула (4.7) позволяет вычислить искомый интеграл для любого натурального индекса 
.
Так как при 
то по формуле (4.7) найдем
и т.д.
4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной функцией (дробью) называется выражение вида
где 
и 
— многочлены степени 
и , не имеющие общих корней, т.е.
(4.8)
Дробь (4.8) называется правильной если 
; неправильной в противном случае. Каждую неправильную дробь можно привести к правильной путем исключения целой части, интегрирование которой не представляет сложностей.
В курсе высшей алгебры доказывается важная теорема, о том, что любая правильная дробь (4.8) может быть представлена в виде конечного числа правильных дробей.
Если 
— корни уравнения 
, а 
— их соответствующие кратности, так что
то дробь (4.8) представляется в виде
(4.9)
где числители отдельных дробей определяются из системы линейных уравнений после приведения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях с (метод неопределенных коэффициентов).
Если — простые корни уравнения , т.е. 
, то
Если некоторые корни уравнения мнимы, то, соединяя вместе элементарные дроби, соответствующие сопряженным корням, можно после некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида
.
и методом неопределенных коэффициентов найти неизвестные 
и 
Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби приводится к интегралам вида
рассмотренных в предыдущем п.3.
5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
Интегралы вида
(4.10)
где 
— рациональные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой
(4.11)
где общий знаменатель дробей 
.
Интегралы вида
(4.12)
(интегралы от биномиальных дифференциалов), где 
— действительные числа, а 
— рациональные, выражаются в элементарных функциях только в следующих случаях:
а) когда 
— целое число; тогда этот интеграл имеет вид суммы интегралов (4.10);
б) когда 
— целое число; подстановкой; подстановкой 
этот интеграл преобразуется к виду (4.10)
(4.13)
в) когда 
— целое число; при помощи той же подстановки данный интеграл приводится к виду (4.10)
(4.14)
Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида
достигается с помощью, по крайней мере, одной из следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера
а) 
при 
;
б) 
при 
;
в) 
при условии, что корни 
и 
уравнения 
действительны.
6. Интегрирование тригонометрических выражений
Интегралы вида
(4.14)
могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки
(4.15)
При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные
; 
; 
(4.16)
Если при этом подынтегральная функция 
удовлетворяет соотношению
(4.17)
то выгодно применить подстановку 
. Например, с помощью этой подстановки интеграл
(4.18)
где 
— нечетное число, а 
— четное, с соответствующей заменой
(4.19)
приводится к интегралу от рациональной функции.
Если эта функция удовлетворяет соотношению
(4.20)
то выгодно применить подстановку 
. Например, с помощью этой подстановки интеграл
(4.21)
где — четное число, а — нечетное, с соответствующей заменой
(4.22)
приводится к интегралу от рациональной функции.
Если эта функция удовлетворяет соотношению
(4.23)
то выгодно применить подстановку 
. Например, с помощью этой подстановки интеграл
(4.24)
где 
— четные числа, с соответствующей заменой
; 
; 
(4.25)
приводится к интегралу от рациональной функции.
7. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции
Интегралы вида
(4.26)
могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки
(4.27)
При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные
; 
; 
(4.22)
