Формула интегрирования по частям

Если каждая из функций и имеет на отрезке непрерывную производную, то справедлива следующая формула

Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, называемой криволинейной трапецией, лежащей под графиком и неотрицательной на отрезке равна

2. Площадь криволинейного сектора

Площадь фигуры, называемой криволинейным сектором, ограниченной графиком и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и имеет площадь

3. Вычисление объема вращения

4. Длина дуги кривой.

Если плоская кривая L задана параметрически

, ,

причем и - непрерывно дифференцируемые функции, то она имеет длину, вычисляемую по следующей формуле

Если плоская кривая L – график непрерывно дифференцируемой функции и , то длина этой кривой вычисляется по формуле

В полярных координатах

Примеры

Задача 1.Вычислить интеграл:

.

Решение: применяя интегрирование по частям, получаем

Задача №2:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №3:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №4:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №5:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №6:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №7:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №8:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №9:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №10:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №11:

Вычислить интеграл:

Решение:

Задача №12:

Вычислить интеграл:

Решение:

1. Функции многих переменных