Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [ a; b ] функции f (x) в том случае, когда может быть найдена ее первообразная F (x) служит формула Ньютона-Лейбница:

,

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования используют формулу

Пример. Вычислить определенные интегралы.

1) .

2)

8.2.2. Метод подстановки

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (метод подстановки) данный интеграл преобразуется с помощью подстановки t=y (x) или x=j (t) в определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования t. При этом старые пределы интегрирования a, b заменяются новыми переделами интегрирования a и b соответственно, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: a=y (a), b=y (b). Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений j (a) =a, j (b) =b относительно a и b.

Таким образом, имеем

Здесь предполагается, что функции j (t) и j΄ (t) непрерывны на отрезке [ a; b ], а функция f (j (t)) определена и непрерывна на отрезке a£ t £ b.

Пример. Вычислим методом подстановки интеграл .

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки t= 2 x– 1. Дифференцируя, получим dt= 2 dx, откуда dx=dt/ 2. Находим новые пределы интегрирования: подставляем в соотношение t= 2 x– 1значения x = 2, х = 3. Тогда получим α= 3, β= 5. Следовательно,

.

В дальнейшем при решении методом подстановки будем использовать форму записи как в неопределенном интеграле, используя вертикальные скобки.

8.2.3. Интегрирование по частям

Если функции u=u (x) и v=v (x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a; b ], то для вычисления определенного интеграла используют формулу , которая называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Положим Тогда По формуле интегрирования по частям имеем

.