Вид формулы интегрирования по частям для опред. интеграла.
Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, не возвращаться к старой переменной). Пример.. = изменение интервала при замене.
Приложения определённых интегралов.
Вычисление площадей. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
+ = .
Вычисление объёмов тел вращения. Вывод формулы , (ДОК)
Пример: доказательство этим методом формулы объёма шара.
Пример. Найти V получающийся при вращении кривой , . Отв. .
Длина дуги кривой. Вывод формулы для явно заданной кривой . (ДОК)
Пример. Длина кривой .
Для параметрически заданной в плоскости и пространстве:
. .
Длина кривой в полярной системе координат: .
§5. Несобственный интеграл. Вводные примеры: , .
Определения несобственных интегралов 1-го (неограниченная D(f)) и 2-го рода (неограниченная E(f)). Сходимость, расходимость.
ДОК, что несоб. интеграл 1-го рода сходится при , а интеграл 2-го рода при .
Примеры: , , .
Неделя 5. Лекция 12.3.2015 Несобственный интеграл.
|
|
Теорема 1. сходится первообразная имеет конечный предел .
Следствие. сходится .
Теорема 2. Признак сравнения в конечной форме. Если и сходится интеграл , то сходится и интеграл . Пример.
Теорема 3. Признак сравнения в предельной форме. Если , причём константа C отлична от 0 и от , то интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходится .
Пример.
Определение абсолютной сходимости. Из абсолютной сх-сти следует обычная (доказывается по признаку сравнения).
§6. Кратные интегралы. Определение. Геометрический и физический смысл.
Кратные интегралы, двойные, тройные. Свойства. Вычисление двойных интегралов по прямоугольной и непрямоугольной области. Геометрический смысл. Объём под поверхностью.
Сведение к повторным: интегрирование величин всех площадей криволинейных трапеций в сечениях по перпендикулярному направлению.
Аналогично, массив в программировании может быть не прямоугольным, тогда во внутреннем цикле двойного цикла границы переменные и зависят от переменной, определённой во внешнем цикле:
for i: = 1 to 10 do for j: = 1 to i do read (a[i,j]); end; end;
Примеры: (1/4) (1/8)
Смена порядка интегрирования: Пример: =
= =
Вычисление тройных интегралов. Примеры. Вычислить (1/8)
При f = 1 площадь (если двойной) или объём (если тройной) интеграл.
Неделя 6. Лекция 19.3.2015 Кратные интегралы
Пример. Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1). (1/6)
Приложения кратных интегралов. Площадь поверхности.
Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения векторов (1,0,f ‘x), (0,1,f ‘y).
Формула площади явно заданной поверхности: .
|
|
Замена переменных в кратных интегралах. Полярные координаты на плоскости:
. Определитель Якоби: .
При замене двух старых на две новые переменные в плоскости, существует уже 4 различных частных производных, и из них можно образовать матрицу 2-го порядка.
= Определитель: = .
Геометрический смысл определителя Якоби - правильный учёт искажений (деформаций).
Чертёж - слева в плоскости параметров , справа в плоскости .
множитель, появляющийся при замене переменной в неопределённом или определённом интеграле. Так, если , то при замене пишем . Множитель фактически и является одномерным якобианом, но только для матрицы порядка 1 определитель вычислять было не нужно, так как он совпадает с самим этим элементом.
Пример: Вычислить интеграл где D - часть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости. Решение. = = =
= = =
= = = .
Пример: Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.
Решение. = = = = = .
Цилиндрические и сферические координаты в пространстве.
Существует два различных обобщения полярных координат для трёхмерного пространства.
и .
Определитель Якоби и соответственно.
Криволинейные интегралы от векторной функции. Определение. Свойства, геометрический и физический смысл. Работа силы по перемещению точки по кривой.
Пример. Вычислить работу поля F = (xy, x+y) по участку параболы от (0,0) до (1,1).
Неделя 7. Лекция 26.3.2015 ГЛАВА 2. Дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
1) Уравнения с разделяющимися переменными. Примеры: , ,
2) Однородные (по степени) уравнения . Доказать, что замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
3) Линейные уравнения. Вид , либо .
Однородные (с помощью разделения переменных). Примеры ,
Неоднородные: Метод Лагранжа для неоднородных линейных уравнений 1 порядка. Обоснование метода.
Неделя 8. Лекция 2.4.2015 Пример.
4) Уравнения Бернулли. Обосновать метод сведения уравнения Бернулли к линейному уравнению с помощью замены.
5) Уравнения в полных дифференциалах, кратко.
Условия Коши и их применение.
§ 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
Методы понижения порядка.
Случай 1) если в уравнении не содержатся младшие порядки производных, то есть тип уравнения то замена y(k)=z, при этом y(k+1)=z’,...
Доказать, что замена понижает порядок уравнения .
Пример. Варианты начальных условий:
(условия Коши) или (в двух различных точках)
Случай 2) если в уравнении содержатся все порядки производных, но нет х, то есть тип уравнения то замена y’=p(y)
Вывести и обосновать замену, доказать что . Доказать, что замена понижает порядок уравнения, в котором отсутствует , то есть уравнения вида .
Пример: (уравнение колебаний) решить этим методом.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Линейное уравнение высшего порядка.
- неоднородное.
- однородное.
Характеристическое уравнение.
Теорема 1. Доказать, что является решением r есть характеристический корень
Пример .