Запись матричной игры в виде платежной матрицы

Рассмотрим конечную игру, в которой первый игрок А имеет m стратегий, а второй игрок B-n стратегий. Такая игра называется игрой m×n. Обозначим стратегии A₁, А₂,..., А_m; и В₁, В₂,..., В_n. Предположим, что каждая сторона выбрала определенную стратегию: A_i или B_j. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий однозначно определяет исход игры — выигрыш одной из сторон a_ij. Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий A_i и B является случайной величиной, зависящей от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша, которое также обозначается за a_ij.

Предположим, что нам известны значения a_ij при каждой паре стратегий. Эти значения можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют стратегиям A_i, а столбцы — стратегиям B_j.

Тогда, в общем виде матричная игра может быть записана следующей платежной матрицей:

Таблица — Общий вид платежной матрицы матричной игры

где A_i — названия стратегий игрока 1, B_j — названия стратегий игрока 2, a_ij — значения выигрышей игрока 1 при выборе им i–й стратегии, а игроком 2 — j-й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.