Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учетом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину
Vн = maxi minj aij
или найти минимальные значения по каждой из строк платежной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина Vн называется максимином матрицы или нижней ценой игры. Та стратегия игрока, которая соответствует максимину Vн называется максиминной стратегией.
Очевидно, если мы будем придерживаться максиминной стратегии, то нам при любом поведении противника гарантирован выигрыш, не меньший Vн. Поэтому величина Vн — это тот гарантированный минимум, который мы можем себе обеспечить, придерживаясь своей наиболее осторожной стратегии.
Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение
|
|
Vв = minj maxi aij
Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платежной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина Vв называется минимаксом матрицы, верхней ценой игры или минимаксным выигрышем. Соответствующая выигрышу стратегия противника называется его минимаксной стратегией. Придерживаясь своей наиболее осторожной минимаксной стратегии, противник гарантирован, что в любом случае он проиграет не больше Vв.
В случае, если значения Vн и Vв не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов aij) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве Vн = Vв= V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V — оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры [8].
Например, в матрице:
B1 | B2 | B3 | B4 | Minj | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
Maxi |
Таблица — Платежная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях
существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 — стратегия B4.
В матрице решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается в стратегии A1 и ее значение равно 12, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии B4 и ее значение равно 13.
B1 | B2 | B3 | B4 | Minj | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
Maxi |
Таблица — Платежная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях
|
|