Основные формулы

1. - частная производная 1-го порядка функции z по переменной x.

2. - частная производная 1-го порядка функции Z по переменной y.

вычисляется при постоянном y, вычисляется при постоянном x.

При вычислении , используются правила и формулы дифференцирования (смотреть таблицу производных).

полный дифференциал функции

где - частные дифференциалы

функции

4.

Для дифференцируемой функции справедливы приближённые равенства.

а), где - полное приращение функции.

, dz- полный дифференциал.

Эта функция используется в нахождении приближённых значений функции.

5.Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого

- Обозначения частных производных 2-го порядка от функции z= f(x,y), причём

порядка.

6. - дифференциал второго порядка для функции

7. Если z= f(x,y), где x= φ(t), y=ψ(t), то - производная сложной функции. z=f(φ(t),ψ(t)).

8. Если z=f(x,y), где то

9. Производная неявной функции, заданной уравнением,где F(x,y)-дифференцируемая функция,

вычисляется по формуле:

10. Частные производные неявной функции заданной уравнением вычисляются по формулам:

при условии

9.3 Примеры решения задач.

Задача 1.

функции

Найти .

Решение:

, где

Задача 2. Найти полный дифференциал функции z= x³y+ xtgx

Решение:

- теоретическая формула.

Где

-ответ

Тогда

Задача 3. Вычислить приближённое значение функции в точке P(2,97;4,02)

Решение:

т.Р

Тогда

Или

Или

Задача 4. Найти производную функции в направлении, составляющим с положительным направлением оси (ОХ) угол a=60°.

Решение:

, где aи b- углы наклона вектора к оси и к оси (OY)⁺ соответственно.

a=60°, тогда b=30°

тогда

- ответ.

Задача 5. Вычислить градиент функции в точке А (2;1).

Решение:

, где - базисные векторы, орты.

Задача 6. Найти смешанные частные производные второго порядка функции

Решение:

Дифференцируя, получаем

Дифференцируя по x(y=const), получаем

Ответ:

Задача 7. Исследовать на экстремум функцию

Решение: (1) - необходимое условие экстремума.

(2) где является решением системы (1).

Неравенство (2) является достаточным условием экстремума.

Причём, если то в точке есть максимум функции.

И если то в точке есть минимум функции.

Имеем:

(1) Þ

есть экстремум, причём т.к

то в точке P₀(0;3) есть максимум

Ответ: