Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: , где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.

Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.

Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.

Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной.

11.Правила дифференцирования.

Пусть заданы две функции и , которые имеют производные в точке .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .

Покажем это. Пусть некоторая функция у, равная имеет приращение . Тогда функции и тоже должны получить приращения и , соответственно. Новое значение будет , а для – , следовательно,

Найдем по определению (2) производной

2. Производная произведения равна . Покажем справедливость этого равенства.

Если, как в первом случае, дать приращение , то функции u и v также получат приращение, следовательно, и функция тоже изменится. Найдем .

По определению производной

Если необходимо вычислить производную нескольких сомножителей, например, , если все три функции имеют производные в точке , используя правило вычисления производной для двух сомножителей, получим

3. Производная частного. Рассмотрим функцию , причем, кроме существования производных в точке для функций и необходимо положить, что в точке отлична от нуля.