5. Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция . При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке . Покажем один из способов нахождения производной функции , если очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти производную затруднительно.
Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и вычислим ее производную
. (4)
Отношение называется логарифмической производной функции . Из формулы (4) получаем
. (5)
Формула (5) дает простой способ нахождения производной функции .
6. Производная обратной функции.
Теорема. Если имеет в точке производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет производную и имеет место соотношение
. (6)
Пользуясь этой теоремой, найдем производные обратных тригонометрических функций.
1. на интервале . , тогда , откуда следовательно, .
2. . . , откуда
3. . ; , откуда
4. ; ;
5. , где и являются функциями от . Для нахождения применим формулу (5). Для этого предварительно найдем функцию
|
|
и ее производную
.
По формуле (5) получаем .
Эту же формулу можно получить иначе. Представим в виде
и найдем производную этой функции
.