2015-05-05
440
Теорема. Пусть функция 
дифференцируема в открытом промежутке 
и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка 
, что 
(1)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию 
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке 
, а на его концах принимает одинаковые значения:
Тогда 
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю: 
Следствие 1. В частном случае, когда 
, из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: 
. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Следствие 2. Если 
во всех точках некоторого промежутка , то 
в этом промежутке.
Действительно, пусть 
и 
– произвольные точки промежутка и 
. Применяя теорему Лагранжа к промежутку 
, получим
Однако во всех точках промежутка . Тогда
Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (1) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки 
и 
а производная 
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции 
в некоторой средней точке промежутка . Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.
Рис. 6. Теорема Лагранжа устанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна секущей AB. Таких точек может быть несколько.
Физическая интерпретацию теоремы Лагранжа. Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение
представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени 
, а производная – мгновенную скорость движения частицы в момент времени c. Существует такой момент времени, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости.
Отметим, что формула (1) сохраняет свою справедливость и при b < a. Если применить теорему Лагранжа к промежутку 
и представить значение c в виде
где 
то формула (1) примет вид
(2)
Равенство (2) дает точное значение для приращения функции при конечном значении приращения аргумента и называется формулой конечных приращений. Единственным недостатком этой замечательной формулы является присутствие в ней неопределенного числа θ.
