Двухслойная и трехслойная упаковки одинаковых шаров в пространстве

Плотнейшие упаковки в трехмерном пространстве могут быть получены из описанных в предыдущем параграфе плотноупакованных слоев, если их накладывать друг на друга таким образом, чтобы шары вышележащего слоя попадали в треугольные впадины (пустоты) нижележащего слоя. Очевидно, что при этом мы имеем максимальное число касаний шаров со своими соседями, т. е. будет соблюдаться принцип плотнейшей упаковки.

Для дальнейшего анализа введем обозначения слоев твердых шаров в плотнейших упаковках. Первый плотноупакованный слой обозначим буквой А. Второй слой (обозначим его буквой В) покрывает первый таким образом, что каждый шар второго слоя будет находиться над пустотами первого. Поскольку число шаров в слое вдвое меньше числа пустот, закрытой сверху окажется лишь половина пустот первого слоя.

Для следующего (третьего) слоя возможны два варианта. Шары могут повторить слой А, и тогда незакрытые пустоты первого и второго слоя окажутся под незакрытыми пустотами третьего слоя. В другом случае третий слой (обозначенный в этом случае С) расположится над пустотами первого слоя, т. е. не повторит первый слой.

Подобная альтернатива возникает при упаковке каждого последующего слоя. Это дает нам возможность обозначать упаковки последовательностью букв в соответствии с теми правилами, по которым располагаются слои в каждой конкретной упаковке. В последовательности не могут стоять рядом две одинаковые буквы, что означало бы наложение шара на один шар. При этом шар верхнего слоя касался бы только одного шара в нижнем плотноупакованном слое, тогда как при наложении слоев, обозначаемых разными буквами. А, В или С, число касаний возрастает до трех.

Рассмотрим две упаковки, характеризующиеся последовательностью букв

... АВАВАВ... и... ABC ABC ABC...

В первой упаковке период повторяемости (трансляция) составляет два слоя, во второй — три слоя. Иногда периоды повторяемости в символах отмечают вертикальными чертами, т. е. символы рассматриваемых упаковок могут быть записаны как

... АВ|АВ|АВ... и... АВС|АВС|АВС.

Данные упаковки, называемые соответственно двухслойной и трехслойной, мы рассмотрим в первую очередь. Заметим, что символы двухслойной и трехслойной упаковок могут быть записаны в следующих эквивалентных формах:

...|AB|AB|AB| |ABC|ABC|ABC|...... |AC|AC|AC| |ACB|ACB|ACB|......|BC|BC|BC|...

Рис. 3. Схема расположения шаров в двухслойной плотнейшей упаковке: Шары слоя А обозначены белым цветом, шары слоя В — черным

На рис.3. схематически показано взаимное расположение двух слоев двухслойной плотнейшей упаковки. Следующий, не показанный на рисунке, третий слой полностью повторяет слой А, обозначенный белыми шариками и т. д.

Найдем вид пустот, которые характерны для трехмерных плотнейших упаковок. Непосредственно из рис.3 видно, что они возникают, когда рассмотренные ранее треугольные пустоты одного плотноупакованного слоя закрываются сверху другим плотноупакованным

слоем. При этом возникают два типа пустот. На рис.4 показаны фрагменты двухслойной упаковки. Будем считать центры шаров, ограничивающих пустоты, вершинами многогранника. Тогда в одном случае образуется тетраэдр (рис. 4), а в другом — октаэдр (рис. 4).

а б

Рис..4. Тетраэдрические (а) и октаэдрические (б) пустоты в плотнейших упа-ковках:

Одна грань тетраэдра и две грани октаэдра параллельны плотноупакованным слоям

Тетраэдрические пустоты образуются, когда шар следующего слоя размещается в «ямке», образованной тремя шарами предыдущего слоя. Октаэдрические пустоты формируются из «ямок», которые не заполняются шарами следующего слоя.

Из рис. 3 также видно взаимное расположение тетраэдрических и октаэдрических пустот в двухслойной плотнейшей упаковке. В направлении, перпендикулярном плотноупакованным слоям, соседние тетраэдрические пустоты или имеют общее основание, или общую вершину. Соседние октаэдрические пустоты в этом направлении имеют в двухслойной упаковке общие грани (рис. 5).

а б

Рис. 5. Взаимное расположение тетраэдрических (о) и октаэдрических (б) пустот в двухслойной плотнейшей упаковке в направлении, перпендикулярном плотноупакованным слоям:

Тетраэдры имеют общие вершины или общие грани, октаэдры — общие грани

Следовательно, в двухслойной упаковке тетраэдрические пустоты располагаются над тетраэдрическими, октаэдрические пустоты — над октаэдрическими.

Такое взаимное расположение октаэдрических пустот приводит к тому, что в двухслойной плотнейшей упаковке имеются сплошные каналы из октаэдрических пустот, тянущиеся в направлении, перпендикулярном плотноупакованным слоям.

Рассмотрим теперь трехслойную плотнейшую упаковку одинаковых шаров (рис. 6). На рисунке видно, что в трехслойной упаковке, как и в двухслойной, имеются лишь тетраэдрические и октаэдрические пустоты, причем их взаимное расположение отличается от расположения в двухслойной упаковке. Можно заметить, что шары слоя С (черные шарики), укладываясь на слой В, образуют тетраэдрические пустоты, которые располагаются точно над октаэдрическими пустотами, образованными слоями А и В.

Рис. 6. Схема расположения шаров в трехслойной плотнейшей упаковке:

— шары слоя А, — шары слоя В, — шары слоя С

Следовательно, пустоты в трехслойной упаковке располагаются таким образом, что грани октаэдрических пустот совпадают с гранями тетраэдрических пустот (рис. 7).

Найдем число октаэдрических и тетраэдрических пустот, приходящихся на один шар. В плоском плотноупакованном слое каждый шар окружен шестью треугольными пустотами (см. рис. 5.2). При наложении следующего слоя три из них будут закрыты и образуют тетраэдрические пустоты. В тех местах, где остаются непере- крытые треугольные пустоты, образуются октаэдрические пустоты. Такая же картина получается, если наложить слой снизу. Кроме того, рассматриваемый шар сам ограничивает треугольные пустоты в двух смежных слоях — в верхнем и нижнем по отношению к рассматриваемому слою. Таким образом, в пространственной плотнейшей упаковке центральный шар принимает участие в образовании шести октаэдрических и восьми тетраэдрических пустот. Если учесть, что в образовании октаэдра и тетраэдра участвуют соответственно шесть и четыре шара, то количество пустот на один шар составляет одну октаэдрическую и две тетраэдрических. Заметим, что полученное соотношение между количеством твердых шаров и пустот справедливо как для двухслойных, так и для трехслойных упаковок и вообще для плотнейших упаковок с любым числом повторяющихся слоев.

Рис. 7. Взаимное расположение октаэдрических и тетраэдрических пустот в трехслойной упаковке

Геометрическим путем можно рассчитать плотность заполнения пространства одинаковыми шарами. Как показывают расчеты, как для двухслойной, так и для трехслойной упаковок эта величина постоянна и равна π/(3√2), что приблизительно составляет 0,740.

Интересно, что для плотнейших упаковок n -мерных сфер в n - мерном пространстве плотность заполнения пространства уменьшается с увеличением размерности пространства. Так, для четырехмерного пространства эта величина равна приблизительно 0,617, для пятимерного — 0,465. Это значит, что с увеличением размерности пространства плотнейшие упаковки твердых шаров становятся все более «рыхлыми».