Суммы Дарбу и их свойства

Пусть функция определена на отрезке ,

–

некоторое разбиение отрезка и . Положим (см. рис.)

, .

По определению числа называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами Дарбу.

Свойство 1. Для любого разбиения и для любой ограниченной функции на отрезке имеет место неравенство

.

Мы будем называть разбиение более мелким, чем разбиение , если все точки разбиения являются точками разбиения . То есть более мелкое разбиение может быть получено из разбиения добавлением некоторых новых точек.

Свойство 2. Пусть - разбиение более мелкое, чем разбиение . Тогда

,

то есть при измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу может только уменьшится, а нижняя может только увеличится.

Так как разбиение может быть получено из разбиения путем добавления к последнему новых точек, то, очевидно, что сформулированное свойство достаточно доказать в случае, когда к разбиению добавляется одна точка. Пусть эта точка . Обозначим через и точные верхние грани функции на сегментах и , через и длины этих сегментов. Заметим, что , и . Далее

.

То есть . Доказательство для нижних сумм проводится аналогично.

Свойство 3. Для любых разбиений и имеет место неравенство

.

Добавим к точкам разбиения точки разбиения . Полученное разбиение обозначим через . Тогда из предыдущего свойства следует

.

Свойство 4. Пусть – интегральная сумма. Тогда имеет место неравенство

.

Это утверждение следует из того что

.

Свойство 5. Положим . Тогда .

Это утверждение очевидно.