Ограниченность интегрируемой функции

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция не ограничена на отрезке и пусть фиксировано некоторое разбиение

этого отрезка. В силу неограниченности функции на всем отрезке она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения . Пусть для определенности функция не ограничена на отрезке , тогда на этом отрезке существует последовательность точек , такая,что

Зафиксируем теперь точки , тогда сумма

будет иметь вполне определенное значение. Поэтому

,

и, значит, каково бы ни было число , всегда можно подобрать такой номер , что если на первом отрезке взять точку , то . Отсюда следует, что суммы не могут стремиться ни к какому конечному пределу при . Теорема доказана.

Условие ограниченности функции , являясь необходимым условием интегрируемости функции, не является вместе с тем достаточным для интегрируемости. В качестве примера, доказывающего это утверждение, рассмотрим так называемую ф ункцию Дирихле:

Рассмотрим эту функцию, например, на отрезке . Она, очевидно, ограничена на этом отрезке. Покажем, что она не интегрируема. Зафиксируем произвольное разбиение отрезка . Если выбрать точки , , рациональными, то в этих точках получим

аесли взять иррациональными, то получим

Так как это верно для любого разбиения , то интегральные суммы заведомо не стремятся ни к какому пределу при .