Понятие определенного интеграла. Пусть на некотором отрезке [a, b] задана функция

Пусть на некотором отрезке [ a, b ] задана функция

y=f(x).

1. Разобьем отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками x₁, x₂,…, x_n_-1, при этом

a=x₀<x₁ <…<x_i-1<x_i<…< x_n=b.

2. На каждом из полученных отрезков разбиения [ x_i_-1, x_i ] (i=1, 2,…,n) выберем произвольным образом точку ξ_i, то есть . Найдем значение функции в этой точке f(ξ_i).

3. Составим сумму произведений вида (функции f(x) в выбранных точках ξ_i на длину соответствующих отрезков разбиения):

Эту сумму можно записать так:

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [ a, b ]. Эта сумма, вообще говоря, зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора промежуточных точек ξ_i. Очевидно каждому разбиению соответствует своя сумма.

Возьмем числовую последовательность положительных чисел δ₁, δ₂,…, δ_n,…, стремящуюся к нулю. Пусть разбиению, при котором длина наибольшего отрезка λ₁<δ₁, соответствует сумма σ₁. Разбиению, при котором λ₂<δ₂, соответствует сумма σ₂,…

Если для каждой последовательности разбиения, для которой δ₁, δ₂,…, δ_n,… стремится к 0, последовательность интегральных сумм σ₁, σ₂,…, σ_n,… стремится к некоторому числу I, одному и тому же при различном выборе точек ξ_i, то это число I называется пределом сумм σ, при λ, стремящемся к 0. На языке ξ, δ это определение звучит так:

Опр. Число I называется пределом интегральных сумм функции y=f(x) на отрезке [ a, b ], если для любого существует , что как только наименьшая из длин отрезков разбиения становится меньше δ, выполняется неравенство:

как бы ни производилось разбиение отрезка и ни выбирались промежуточные точки ξ_i на отрезках разбиения.

Опр. Если существует конечный предел I интегральных сумм σ, при стремлении наибольшего из отрезков разбиения λ к 0, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [ a, b ].

Обозначается , а – нижняя граница интегрирования, b – верхняя граница интегрирования, х - переменная интегрирования, [ a, b ] – отрезок интегрирования.

Итак,

Поставим теперь задачу: выяснить условия, при которых интегральные суммы σ имеют конечный предел, то есть существует определенный интеграл.

Заметим, что для того чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [ a, b ] (то есть существовал определенный интеграл от этой функции), необходимо чтобы она была ограничена на этом отрезке.

Действительно, если бы функция f(x) была на отрезке [ a, b ] неограничена, то при любом разбиении отрезка [ a, b ] на части, нашелся бы такой отрезок разбиения, на котором функция была бы неограничена. Тогда точку ξ_i на этом отрезке можно выбрать таким образом, что значение функции в этой точке f(ξ_i), а с ним и суммы σ будут стремиться к бесконечности. При этих условиях конечный предел I для интегральных сумм σ, очевидно, не существует.

Значит, необходимым условием интегрируемости функции является ее ограниченность на [ a, b ].

Но это условие не является достаточным, то есть не всякая ограниченная на отрезке [ a, b ] функция, интегрируема.

Например, функция Дирихле:

Эта функция ограничена на любом отрезке [ a, b ], так как множество ее значений .

Но интегральные суммы σ=0, если будем выбирать точки ξ_i иррациональными, и σ =b-a, если будем выбирать ξ_i рациональными. Таким образом, интегральные суммы σ не имеют предела, то есть функция Дирихле не интегрируема.

В дальнейшем мы будем наперед предполагать рассматриваемую функцию f(x) ограниченной на отрезке [ a, b ], то есть .