Интегрируемости функции

Теорема:

Для того чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [ a, b ], необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство:

1) Докажем необходимость.

По условию функция f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ], значит и ограничена на нем. Составим нижнюю и верхнюю суммы Дарбу s и S. Обозначим интеграл . Интегрируемость функции означает, что для любого существует , такое, что как только наибольший из отрезков разбиения λ< δ, так будет выполняться неравенство . Последнее неравенство равносильно неравенствам:

Как видим, являются для интегральных сумм σ соответственно нижней и верхней границами. В то же время, согласно свойству сумм Дарбу, точной нижней границей для σ является s, а точной верхней – S. Поэтому

, .

Учитывая это, получим: .

Следовательно, .

Таким образом , тогда .

2) Докажем теперь достаточность.

Пусть , докажем, что f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ].

По условию, - это значит, для любого , существует , что как только наибольший из отрезков разбиения , выполняется неравенство (1). Используя неравенства и учитывая последнее неравенство, получим

Следовательно, (они постоянны). Обозначим их общее значение через I= . Тогда (2), (3). Из неравенств (1), (2) и (3) следует, что (4) (разность между , то тем более разность чисел I и σ, заключенных между s и S, меньше ),что означает, что , а это значит, что функция f(x) является интегрируемой на [ a, b ].