Площадь криволинейной трапеции

Разобьем отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками деления x₁, x₂,…, x_{n-1 ,} причем

a=x₀<x₁ <…<x_n=b.

Проведем через точки деления прямые, параллельные оси ОУ. Таким образом мы разбили криволинейную трапецию на n элементарных криволинейных трапеций. Площадь данной криволинейной трапеции равна сумме площадей всех n элементарных криволинейных трапеций. Поэтому, если обозначить через S площадь данной криволинейной трапеции, а через S_i – площадь i-ой элементарной криволинейной трапеции с основанием на отрезке [ x_i-1, x_i ], где i=1, 2,…n, то S=S₁+S₂+…+S_n.

Но вычислить площадь элементарных трапеций так же трудно, как и данной. Поэтому поступим следующим образом: на каждом отрезке [x_i-1, x_i] (i=1, 2,…,n) выберем произвольную точку ξ_i () и найдем в этой точке значение функции f(ξ_i). Заменим теперь каждую элементарную криволинейную трапецию с основанием

[ x_i-1, x_i ] (i=1,…,n) прямоугольником с тем же основанием, а высотой равной f(ξ_i). Площадь i-го прямоугольника будет равна:

f(ξ_i)(x_i – x_i-1 ).

Причем площадь этого прямоугольника заменяет приближенно значение площади элементарной криволинейной трапеции, то есть

S_i» f(ξ_i)(x_i – x_i-1 ).

Заменив площадь каждой элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной ординате кривой в некоторой произвольной точке основания, получим ступенчатую фигуру. Площадь этой ступенчатой фигуры дает нам приближенное значение площади S криволинейной трапеции:

Обозначим за λ наибольшую из длин элементарных отрезков разбиения, то есть

.

С уменьшением λ точность приближенной формулы (1) увеличивается. Поэтому вполне естественно за точное значение площади S криволинейной трапеции принять предел последовательности площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшее из длин λ элементарных отрезков стремится к нулю, таким образом

.

Если обозначить x_i – x_i-1 =∆x_i, то последняя формула примет вид:

.