Задача о работе переменной силы

Если материальная точка под действием силы F, не меняющейся ни по величине, ни по направлению, перемещается на расстояние l в направлении действия силы, то работа силы, как известно из механики, равна произведению величины силы F на перемещение l, то есть

.

Рассмотрим теперь тот случай, когда сила F меняется по своей численной величине, но сохраняет постоянное направление. Пусть под действием этой силы материальная точка перемещается по прямой, направленной вдоль линии действия силы.

Поставим задачу: вычислить работу переменной силы F вдоль отрезка прямой.

Примем прямую, вдоль которой перемещается материальная точка, за ось ОХ.

Пусть начальная и конечная точки пути имеют соответственно абсциссы а и b (a<b). В каждой точке отрезка [ a, b ] величина силы имеет вполне определенное значение, то есть является некоторой функцией абсциссы х:

F=f(x).

Эту функцию будем считать непрерывной. Разобьем отрезок [ a, b ] на n отрезков [x₀, x₁], [x_1, x₂],…, [x_n-1, х_n], длины которых соответственно равны: .

Работа на всем пути отрезка [ a, b ] равна сумме работ на всех отрезках [ x_i-1, x_i ] пути, где i=1, 2,…n. Обозначим искомую работу на всем пути через A, а работу на участке ∆ х_i через A_i, имеем:

.

Но определить работу на малом участке так же трудно, как и на всем пути, так как сила непостоянна. Однако, если отрезки разбиения [ x_i-1, x_i ], где i=1, 2,…n, брать достаточно малыми, то из непрерывности функции f(x), сила на каждом из этих участков пути изменяется незначительно. Выберем на каждом отрезке [ x_i-1, x_i ] по точке ξ_i, , i=1, 2,…n, и предположим, что на каждом таком отрезке величина силы имеет постоянное значение, равное значению силы в точке ξ_i, F_i=f(ξ_i). При этом предположении работа силы F_i на отрезке пути

[ x_i-1, x_i ] будет равна F_i ∆x_i=f(ξ_i)∆x_i.

В действительности же, на отрезке [ x_i-1, x_i ] сила непостоянна, поэтому f(ξ_i)∆x_i дает нам лишь приближенное значение работы на участке ∆x_i. Таким образом, мы имеем приближенное равенство

.

Просуммировав по всем отрезкам, получим приближенное значение работы А на всем пути:

.

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше ∆x_i. Поэтому за точное значение работы естественно принять предел построенных сумм при условии, что наибольшая длина λ отрезков ∆x_i стремится к 0, т.е.

.

Отметим, что к нахождению предела сумм, аналогичных рассмотренным выше, приводит целый ряд задач математики, физики, экономики и др.