2015-05-05
13071
При введении понятия определённого интеграла 
предполагалось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и 
являются конечными;
б) подынтегральная функция 
ограничена на отрезке 
.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция 
определена и непрерывна на промежутке 
, тогда
(12)
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).
Если 
существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен 
, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл 
от неотрицательной функции 
выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью 
, слева – отрезком прямой 
и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала 
. Интеграл 
сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение. а) 
, следовательно, данный интеграл расходится;
б) 
. Так как при 
предел 
не существует, то интеграл 
расходится;
в) 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
;
г) 
= [выделим в знаменателе полный квадрат: 
] = 
[замена: 
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
.
