Фазовая и групповая скорость волны

Есть две важные характеристики волны с определенным законом дисперсии: фазовая скорость и групповая скорость.

Фазовая скорость — скорость движения поверхности постоянной фазы: . Направим ось x вдоль вектора . Тогда уравнение, определяющее поверхность постоянной фазы примет вид: kx – ω t = const, откуда , т. е. поверхность постоянной фазы движется со скоростью ω / k:

(16)

Направление фазовой скорости совпадает с направлением волнового вектора.

Для фотона и акустического фонона v _ph = c: фазовая скорость не зависит от волнового вектора.

Для электрона:

(17)

Групповая скорость — это скорость движения волнового пакета, составленного из гармонических волн с волновыми векторами лежащими вблизи заданного вектора (''группы'' волн):

(18)

Здесь интегрирование производится по небольшому объему обратного пространства Δ ³ k: волновые вектора и частоты волн, составляющих волновой пакет, не слишком сильно отличаются от величин и — ''центральных'' волнового вектора и частоты пакета.

Т. к. отклонения от невелики, мы можем разложить функцию в ряд по величине с точностью до первого (линейного) члена:

(19)

Здесь — градиент частоты в точке .

Подставляя это разложение в интеграл, определяющий волновой пакет, получим:

(20)

(21)

Видно, что зависимость амплитуды волнового пакета | f | от координат и времени сводится к зависимости только от величины . Иными словами, пакет движется как целое со скоростью . Это и есть групповая скорость v_g:

(22)

Заметим, что мы учли лишь линейный член в разложении в окрестности , в этом приближении огибающая (форма) волнового пакета сохраняет свою форму. На самом же деле, если дисперсия не линейная, пакет медленно расплывается.

Если частота (энергия квазичастицы) зависит только от модуля волнового вектора, то групповая скорость направлена вдоль и по абсолютной величине равна ∂ ω /∂ k.

Для свободного электрона получаем: v_g = ħ k / m = p / m. Как и следовало ожидать, групповая скорость совпадает с классической скоростью электрона.

У волн с линейной дисперсией (фотонов и акустических фононов) групповая скорость равна фазовой. Поэтому одномерный волновой пакет из из таких волн не расплывается, т. е. сохраняет свою форму.