Дифференциалльное исчисление функций нескольких переменных

1 Множество в Rⁿ: открытые, замкнутые, ограниченные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах.

Пусть р₀ – точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шарам или просто шаром радиуса ε с центром в точке р₀ называется множество всех точек, расстояние которых от р₀ меньше ε.

{р Î Rⁿ| ρ(p₀, p) < ε}.

Множество X Ì Rⁿ называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р Î Х называется:

внутренней точкой множества Х, если существует шар B(p,r), все точки которого принадлежат Х;

внешней точкой по отношению к Х, если существует шар B(p,r), ни одна точка которого не принадлежит Х;

граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой Х, иначе говоря, если любой шар с центром р содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х

Множество Х называется открытым, если его точки внутренние. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Выпуклое множество – часть плоскости, обладающая тем свойством, что соединяющий две любые точки отрезок содержится в ней целиком.

Пусть Х – множество в Rⁿ. Точка р₀ называется предельной для Х, если в любой окрестности точки р₀ (любом шаре B(p₀, ε)) имеются точки множества Х, отличные от р₀.

Топология – раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний. Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную плоскость и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т. к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше способом. В то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо – двумя.

Компактность – одно из основных понятий топологии. Множество называется компактным, если любая бесконечная последовательность его точек (элементов) имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую этому множеству. Например, на плоскости компактными являются ограниченные, замкнутые множества и только они.

Правило, по которому каждой точке x (x₁, x₂,…, x_n) Î X (X Ì Rⁿ) ставится в соответствие единственное действительное число y Î E (E Ì R) называется функцией n переменных.

X Ì Rⁿ – область определения функции

E Ì R – множество значений функции.

Пусть на множестве X Ì Rⁿ задана функция f и пусть р₀ – предельная точка для Х. Число а называется пределом функции f в точке р₀, если для любой сходящейся к р₀ последовательности {р_n}, где все р_n ≠ p_a, соответствующая числовая последовательность {f(p_n)} сходится к числу а. (lim f(p) = a)