Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращения функции к приращению соответствующией независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Величина Dz=f(x₀+Dx,y₀+Dy)-f(x₀,y₀) (одновременное изменение величин х и у) называется полным приращением функции z в точке (x₀,y₀).Так же, как и в случае одной переменной возникает задача о приближённой замене приращения Dz(которая, как правило, является нелинейной функцией от Dх и Dу) на линейную функцию от Dх и Dу. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции, который определяется как сумма произведений частных производных функций на приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных полный дифференциал определяется равенством dz=z¢_xDx+z¢_yDy. Следует помнить, что в различных точках (х₀, у₀) дифференциал будет различным.

Функция называется дифференцируемой в точке (х₀, у₀), если её полное приращение можно представить в виде Dz=f(x,y)- f(х₀, у₀)=f_x¢(х₀, у₀)Dx+f_y¢(х₀, у₀)Dy+ep или, короче, Dz=dz+ep, где e=e(Dх, Dу) – функция бесконечно малая при Dх® 0,Dу®0;

Геометрический смысл.

_.

р=Ö(Dх)²+(Dу)² - расстояние от точки (х,у) до точки (х₀,у₀).

Дифференцируемость функции z=f(z,y) в точке (х₀,у₀) предполагает наличие производных z¢_x и z¢_y в этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует, то функция не является дифференцируемой в точке (х₀,у₀).

Запишем линейный аналог уравнения, отбросив слагаемое eр:

z-f(х₀,у₀)=f¢_x(х₀,у₀)(x-x₀)+f¢_y(х₀,у₀)(y-y₀). Это уравнение в коотдинатах x,y,z задаёт плоскость, которая называется касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке (М(х₀,у₀), f(х₀,у₀)).

(можно доказать, что для любой последовательности точек {N_1,N₂,…}, принадлежащих графику функции z=f(x,y) (и отличных от М), угол между прямой MN₁ и касательной плоскостью стремится к нулю.

(Теорема Если функция z=f(x) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке.)