Производная по направлению. Градиент

Пусть l=(l_x;l_y) – произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что

.

|l|=Öl_x²+l_y²=1

Производной функции f(x,y) в точке (х₀,у₀) по направлению вектора l называется предел df(х₀,у₀) =lim f(х₀+tl_x,у₀+tl_y)- f(х₀,у₀)

dl ^t®0+0 t

Говорят также, что df(х₀,у₀)/dl – это скорость изменения функции в точке (х₀,у₀) в направлении вектора l.

Градиентом функции в точке М называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.

Пример для функции от двух перменных. f(x,y) grad f(M)=(f_x¢(M);f_y¢(M)).

Градиент можно записать короче. df(M) (grad f(M),l)

dl

где (grad f(M),l) – скалярное произведение векторов.

[(grad f(M),l)=|grad f(M)|*|l|cosj, l – единичный вектор] Ни количество аргументов функции f, ни длина вектора l не играет существенного значения при выводе формулы.

Вывод. Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.