Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)

Комплексное число представляется в виде a+b_*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»).

Если суммы действительных(Sа_n) и мнимых (Sb_ni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.)

7. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!!предполагается равномерно сход=правильно сход).

Функция S(x),хÎW является суммой ряда, если S(x) =lim _n→∞ S(x), где S(x)= f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)

Если S(x), х ÎL (LÍΩ) является суммой ряда f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+…=_n=1∑ ^∞ fn (x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x), если для любого числа e>0 существует номер N такой, что при n³N cразу для всех хÎL выполняется неравенство ½S(x) -S n (x)½<e

Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве

множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством ½ fn (x)½≤Сn (n=1,2…), где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

Свойства:

Если функции fn (x) непрерывны на [a,b], составленный из них ряд f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+…, то

1.Функция f (x) на [a,b] непрерывна

2. _a∫ ^b f (x)dx=. _a∫ ^b f ₁(x)dx+…+. _a∫ ^b fn (x) dx+…

Если fn (x) имеют непрерывную производную на [a,b] и на этом отрезке

а)ряд f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+… сходится к f (x)

б)ряд f ₁ ' (x)+ f ₂ ' (x)+…+ fn' (x)+… сходится равномерно, то f (x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f ₁ ' (x)+ f ₂ ' (x)+…+ fn' (x)+…