Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х2+…+акхк+…, (*)
где а0, а1,а2,… - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом.
а0,а1,а2,…- коэффициенты степенного ряда.
Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости.
Теорема Абеля.
1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|.
2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠0, то этот ряд расходится при всех x: |х|>|х1|.
Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х0+а2х02+…+акх0к+…(**) сходится, поэтому акх0к →0, при к→∞. Значит, сходящаяся последовательность {акх0к}
ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |акх0к|<M для всех к=0,1,2…
Рассмотрим |а0|+|а1х0|+|а2х02|+…+|акх0к|+….(***)
Пусть |х|<|х0|, тогда |акхк|=|акх0к||х/х0|<М|х/х0|к, причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда
М+М|х/х0|+М|х/х0|2+…+М|х/х0|к+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**) сходится абсолютно.
|
|
2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х:| х |>х1 По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно получили противоречие.
Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
Для степенного ряда (*) возможны только следующие случаи:
1)ряд сходится только в т.х=0
2)ряд сходится при всех х
3)существует такое R>0, что ряд сходится в интервале (-R;R) и расходится вне отрезка [-R;R]. R- радиус сходимости степенного ряда
Теорема. Если существует предел D=lim|an+1/an| при n→∞, отличный от 0, то R степенного ряда а0+а1х+а2х2+…+аnхn+…равен:
R=1/D= lim|an/an-1| при n→∞.
Опр. Пусть ф-я f(x)=Σn=1∞anx, то говорят, что ф-я разлагается в степенной ряд с обл. сходимости(-R;R)
Теоремы о св-вах степенных рядов.
1. Пусть ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд а0+а1х+а2х2+…+аnхn+…(1). Рассмотрим степенной ряд
а1+а2х+…+аnхn-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда: ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, Что и (1). На вем интервале (-R;R) ф-я f(x) имеет производную f(x)’, которая разлагается в степенной ряд (2).
2. Если ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд, то она интегрируема в этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.