Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами

Знакочередующиеся ряды – ряды, члены которых имеют чередующие знаки.

Теорема Лейбница Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремяться к нулю, когда n®µ,то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

Доказательство.

Пусть дан ряд а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… и известно, что а_n>a_n+1 для всех n и a_n®0 при n®µ.Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S_2n= а₁-а₂+а₃-а₄+…+a_2n-1-a_2n= (а₁-а₂)+(а₃-а₄)+…+(a_2n-1-a_2n). В силу первого условия все разности в скобках положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_2n} является возрастающей. Докажем, что она является ограниченной. Для этого представим S_2n в виде

S_2n= а₁-[(а₂-а₃)+(а₄-а₅)+…+(а_2т-1-a_2n-1)+a_2n]. Вы ражение в квадратных скобках положительно, поэтому S_2n<a₁ для любого n, т.е. последовательность {S_n} ограничена.

Итак, последовательность {S_n} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел lim S_2n=S. Так как S_2n+1=S_2n+a_2n+1, и по

^n®µ

условию lim a_2n+1=0, то lim S_2n+1=limS_2n=S.

^{n®µ n®µ n®µ}

Мы доказали, что ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравентвам 0<S<a₁. Докажем теперь второе утверждение. Рассмотрим остаток ряда а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… с чётным номером 2k: R_2k=a_2k+1- a_2k+2+… Этот ряд является знакочередующимся и он удовлетворяет всем условиям теоремы, поэтому выполняются оценки 0<R_2k<a_2k+1. Что касается остатков ряда с нечётными номерами, то любой из них можно записать в виде

R_2k+1= -a_2k+2+a_2k+3-…=-(a_2k+2-a_2k+3+…). Ряд в скобках снова удовлетворяет условиям теоремы, поэтому 0<-R_2k+1<a_2k+2 или -a_2k+2< R_2k+1<0. Сходимость ряда вместе с неравенствами 0<S<a_1, 0<R_2k<a_2k+1 и -a_2k+2< R_2k+1<0 полностью доказывает теорему.