Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства

Пусть дан знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+… Очевидно, что это ряд с положительными членами.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из его членов.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Сумма такого ряда равна разности между суммой его плюс-ряда и суммой минус-ряда.

Доказательство.

Пусть ряд а₁+а₂+…+а_n+… сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+… Обозначим частичные суммы ряда из модулей его членов через T_n. Имеем T_n= T_n⁺+ T_n^- (где T_n⁺ - некоторая частичная сумма плюс-ряда, T_n^- - частичная сумма минус-ряда.) Ввиду сходимоти ряда |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+…его частичные суммы T_nограничены некоторым числом С. Тогда следует, T_n1⁺£С и T_n2^-£С, т.е. частичные суммы минус- и плюс-ряда также ограничены сверху числом С. Согласно критерию сходимости рядов с положительными членами отсюда вытекает сходимость плюс- и минус-рядов, т.е. существуют пределы T⁺=lim T⁺_k и T^-=lim T^-_l. Если теперь

^{k®µ l®µ}

из равенства перейти к пределу при n®µ, то получим limT_n=T⁺-T^-, ч.т.д.

^l®µ

Условно сходящиеся ряды.

Ряд а₁+а₂+…+а_n+… называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

(теорема Римана. Если ряд сходится условно, то в результате перестаноски его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.)