Матричные степенные ряды и условия их сходимости

Пусть дана квадратная матрица А размера k и степенной ряд

a₀ + a₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ +… Степенным матричным рядом называется ряд, полученный заменой в степенном ряде переменной х на А:

a₀ + a₁А + a₂А² +…+ a_nАⁿ +… = _n=0S^¥ a_nАⁿ.

l - собственное значение матрицы А, если найдется ненулевой собственный вектор х, для которого выполняется равенство Ах = lх

Матричный степенной ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится степенной ряд a₀ + a₁l + a₂l² +…+ a_nlⁿ +… = _n=0S^¥ a_nlⁿ (*) для каждого собственного значения l матрицы А.

Доказательство: Пусть матричный ряд сходится и l - собственное значение матрицы А с собственным вектором х. Пусть В = _n=0S^¥ a_nlⁿ, Вх – вектор. Т. к. для любого натурального n выполняется равенство Аⁿx = lⁿx, то справедливо равенство Вх = _n=0S^¥ a_nlⁿх Þ сходимость ряда (*).

Для доказательства достаточности можно рассмотреть случай, когда собственные векторы матрицы А образуют базис пространства R^k. Для проверки сходимости ряда a₀ + a₁А + a₂А² +…+ a_nАⁿ +… = _n=0S^¥ a_nАⁿ достаточно проверить, что для любого вектора х пространства R^k сходится ряд из векторов a₀х + a₁Ах + a₂А²х +…+ a_nАⁿх +…

Если х – собственный вектор матрицы А, то ряд

a₀х + a₁Ах + a₂А²х +…+ a_nАⁿх +… (**) сходится по условию. В общем случае вектор х представляется в виде линейной комбинации собственных векторов. Поэтому ряд (**) также представляется в виде линейной комбинации рядов такого же типа для собственных векторов, каждый из которых сходится. Следовательно, сходится и ряд (**) Þ теорема доказана.

Дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.