Разложение ф-й в степенные ряды. Ряд Маклорена

Предположим, что ф-я f(x) разлагается на отрезке [-r;r] в степенной ряд

f(x)=а0+а1х+а2х²+…+а_nхⁿ +…(1)

Найдем а0,а1,а2,…

f’(x)=а₁+2а₂х+3a₃х²…+…

f’’(x)=2а₂+6а₃х+4*3a₄х²…+…

…

f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)*…*1*a_n+… Полагая, что х=0, получим: f(0)=a₀, f’(0)=a₁ f’’(0)=2a₂,…, f⁽ⁿ⁾(0)=n!a _n

Имеем: a _n= f⁽ⁿ⁾(0)/n!

Опр. Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(0)+ (f’(0)/1!)x+ (f’’(0)/2!)x²+…+(f⁽ⁿ⁾⁽0)/n!)xⁿ наз рядом Маклорена для ф-и f(x).

Примеры разложений ф-й:

е^х=1+х+х²/2!+х³/3!+…+хⁿ/n!+… для всех х.

Sinx=x- х³/3!+х⁵/5!+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…

Cosx=1- х²/2!+х⁴/4!+…+(-1)ⁿх²ⁿ/(2n)!+…

Ln(1+x)= x- х²/2+х³/3-…+(-1)ⁿхⁿ⁺¹/(n+1)+…

Arctgx= x- х³/3+х⁵/5+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)+…

(1+x)^a=1+(a/1)x+(a(a-1)/1*2)x²+…+(a(a-1)*…*(a-n+1)/n!)xⁿ+…

Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х³/3+х⁵/5+…)

1/1-х=1+х+х²+х³+…

1/1+х=1-х+х²-х³+…

Для натуральных а=м получим бином Ньютона:

(1+x)^м=1+(м/1)*x+(м(м-1)/1*2)x²+…

Ряд Тейлора.

Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(х0)+ (f’(х0)/1!)*(x-х0)+ (f’’(х0)/2!)*(x-х0)²+…+(f⁽ⁿ⁾(х0)/n!)*(x-х0)ⁿ+… называется рядом Тейлора с центром х0 джлдя ф-и f(x).

Теорема. Если ф-я разлагается в некоторой окрестности т. х0 по степеням х-х0, то он явл рядом Тейлора с центром х0.

Приложения степенных рядов.

^1. Вычисление значений показательной ф-и: пусть х=Е(х)+q, где Е(х)-целая часть числа х, q- дробная его часть, тогда е^х= е^Е(х)* е^q, гденаходят с помомощью умножения, а – с помощью разложения е^х=1+х+х²/2!+х³/3!+…+хⁿ/n!+…. При 0≤х<1, этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда R_n(x) оценивается след образом:

0≤ R_n(x) <хⁿ⁺¹/n!n

2. Вычисление значений логарифмической ф-и: Ln(1+x)= x- х²/2+х³/3-…+(-1)ⁿхⁿ⁺¹/(n+1)+…

Заменим х на –х: Ln(1-x)= -x- х²/2-х³/3-…+-хⁿ⁺¹/(n+1)-… вычитая из первого равенства второе получим: Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х³/3+х⁵/5+…), где |х|<1.

3. Вычисление значений синуса и косинуса:

Sinx=x- х³/3!+х⁵/5!+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…

Cosx=1- х²/2!+х⁴/4!+…+(-1)ⁿх²ⁿ/(2n)!+…

Ряды при больших х сходятся медленно. Но, учитывая периодичность ф-й синуса и косинуса и формулы приведения тригонометрич. Ф-й, достаточно уметь вычислять sinx, cosx для промежутка 0≤х ≤ π/4.

4. Разложение ф-й в степенные ряды исп-ся для приближенного нахождения интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.