Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x,y,y¢)=0. Если это уравнение можно разрешить относительно у¢, т.е. записать в виде у¢=f(x,y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём некоторую точку (x₀,y₀) из области определения D функции f(x,y). Пусть у=j(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из уравнения вытекает, что j¢(х₀)=(х₀,у₀). Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х₀,у₀) равен (прих=х₀) числу f(х_0,у₀).

Построим теперь для каждой точки (х₀,у₀) из области определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(х₀,у₀). В этом случае принято говорить, что эта прямая определяет направление в точке (х₀,у₀), а на множестве D задано поле направлений.

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в виде

ì

í j(t,x₁,x₂, dx₁/dt,dx₂/dt)=0

î y(t,x₁,x₂, dx₁/dt,dx₂/dt)=0.

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши состоит в нахождении решения х₁(t),x₂(t), удовлетворяющих начальным условиям х₁(t₀)= х₁⁰, x₂(t₀)= x₂⁰, где t_0, х₁⁰, x₂⁰ – заданные числа. Для случая системы может быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме для одного уравнения.