Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется выражение, связывающее независимую переменную х, функцию у и ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида у⁽ⁿ⁾ = f (x, у, у ',…у^(n-1)) (*)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется всякая функция у=φ(x), определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

во многих случаях требуется находить решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, например, задача Коши состоит в отыскании решения диф. уравнения (*), определенного в некоторой окрестности точки х₀ и такого, что

у(х₀)= у₀, у ' (х₀)=у₁,..., у^(n-1)(х₀)= у_n-1, где у_0, у_1,…, у_n-1 – заданные числа.

Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные.

Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных.

Линейное дифференциальное ур-е n-го порядка: y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) +…+a_n(x) y = b(x) наз неоднородным, если b(x)≠0; однородным уравнение наз в том случае, если b(x)=0.

Если у₁=φ₁(х), у₂=φ₂(х),… у_k=φ_k(х) – решения однородного ур-я y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) +…+a_n(x) y =0(*), то любая их линейная комбинация С₁у₁ + С₂у₂+…+ С_kу_k, где С₁, С₂ – постоянные, также решение этого однородного ур-я.

Система ф-й наз линейно независимой на интервале (a,b), если ни одна из этих ф-й не может быть выражена в виде линейных комбинации остальных ф-й. Фундаментальный набор решений –это набор линейно независимых решений ур-я (*), содержащий количество ф-й, равное порядку дифференциального ур-я.

Теорема. Для того, чтобы решения у₁=φ₁(х), у₂=φ₂(х),… у_k=φ_k(х) линейного однородного диф-го ур-я с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами были Л.Н.З. на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

| φ₁(х) φ₂(х)… φ_n(х) |

W(x)=| … |

| φ₁^(n-1)(х) φ₂^(n-1)(х)… φ_n^(n-1)(х)|

был отличен от нуля при любом х из [a,b].

Любое решение однородного ур-я можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений: ў=∑_i=1ⁿ C_iy_i, где Ci (i=1,2,…) – произвольные постоянные. (общее решение однородного диф. Ур-я(*)).