Прямая сумма подпространств

Сумма L ₁ + L ₂ называется прямой суммой (и обозначается L ₁⊕ L ₂), если представление х = х ₁ + х ₂(х ₁Î L ₁, х ₂Î L ₂) единственно для любого х Î V.

32°. Чтобы L ₁ + L ₂ была прямой необходимо и достаточно чтобы:

a) L ₁∩ L ₂=q или б) dim V =dim L ₁ + dim L ₂.

◀ a) Необходимость. Пусть сумма L ₁ + L ₂ прямая и пусть $ z ₀ ¹ q и z ₀Î L ₁∩ L ₂.Тогда х = х ₁+ х ₂ = (х ₁ + z ₀) + (х ₂– z ₀)= х¢ ₁ + х¢ ₂ т.е. разложение x в сумму неоднозначно. Это противоречит тому, что сумма прямая.

Достаточность. L ₁∩ L ₂ = q пусть х = х ₁ + х ₂и х = y ₁ + y ₂,

х – х = х ₁– y ₁ + х ₂– y ₂=q Þ Þ х ₁– y ₁ = y ₂– х ₂Î L ₁∩ L ₂ Þ х ₁– y ₁ = q и х ₂– y ₂=q, т.е. х ₁= y ₁ и х ₂= y ₂.

б) Необходимость. L ₁⊕ L ₂ Þ L ₁∩ L ₂ = q, dim V =dim L ₁ +dim L ₂ – dim L ₁∩ L ₂ =dim L ₁ +dim L ₂.

Достаточность. Если dim V = dim L ₁+dim L ₂Þ dim L ₁∩ L ₂ = 0,т.е. L ₁∩ L ₂ = q. ▶

Если V = L ₁⊕ L ₂ Þ " x Î V существует единственное представление: х = х ₁+ х ₂ (х ₁Î L ₁, х = L ₂).

При этом х ₁называется проекцией х на L ₁,параллельно подпространству L ₂ ( х), а х ₂называется проекцией х на L ₁,параллельно подпространству L ₁ ( х).

Подпространство L ₂ называется дополнением L ₁ к V и наоборот.

33°. " L ₁Ì V существует L ₂такое, что L ₁⊕ L ₂ = V. Доказать самостоятельно.

34°. Если L ₁⊕ L ₂ = V иdim V = n,dim L ₁= k, то dim L ₂ = n – k.

Доказать самостоятельно. Величина dim V – dim L ₁= n – k называется коразмерностью подпрострарства L ₁ и обозначается codimL ₁ .